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不同网格系统下三对角四阶紧致格式的优化和初步应用
概述
三对角四阶紧致格式是一种有限差分方法，用于解决偏微分方程问题。在不同网格系统下，这种格式的优化至关重要。本文将介绍三对角四阶紧致格式的基本原理和其在不同网格系统下的优化方法，并通过实验结果来验证优化效果。
三对角四阶紧致格式基本原理
三对角四阶紧致格式是一种基于有限差分方法的数值求解方程的方法。其基本原理是将偏微分方程的连续问题离散化为差分问题。对于一个二阶常微分方程f''(x)=p(x)f(x)+q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数，假设网格剖分为N等分，步长为h，设y(x)为方程的解，在x_i处的解值为y_i，则可以通过以下步骤构造三对角四阶紧致格式：
1.离散化二阶导数
将二阶导数的离散化采用二阶中心差分，以求解方程的解值：
y''_i=(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1})/h^2
2.离散化一阶导数
将一阶导数的离散化采用一阶中心差分，以求解方程的解值：
y'_i=(y_{i+1}-y_{i-1})/(2h)
3.将离散后的方程转化为三对角线性方程组
将上述方程的离散化结果代入原方程中得到：
(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1})/h^2=p(x_i)f(x_i)+q(x_i)
移项并整理得到：
(1+h^2/12p_i)y_{i+1}+(-2+5h^2/6p_i)y_i+(1+h^2/12p_i)y_{i-1}=h^2q_i/12p_i
可以将该方程转化为三对角线性方程组格式：
A·Y=F
其中，Y是解的向量，A是系数矩阵，F是右端向量。系数矩阵A和右端向量F可以通过将方程的离散化结果代入得出。
不同网格系统下的优化
对于三对角四阶紧致格式，将其运用于不同网格系统下，需要对其进行优化，以提高解的精度和计算效率。一种常见的优化方向是缩小离散化误差，另一种是减少计算量。
缩小离散化误差
在三对角四阶紧致格式的计算中，离散化误差是不可避免的。为了减少误差，可以采取以下优化方法：
1.调整网格剖分方式
在不同的网格剖分方式中，离散化误差的大小可能会有所不同。例如，对于一些平滑的问题，在使用等距网格剖分时会产生较大的误差。为了减少误差，可以采用非等距网格剖分，例如采用指数型网格或Chebyshev-Gauss-Lobatto网格等。
2.增加附加节点
增加附加节点是指在网格剖分中加入一些虚拟节点，在计算中不予计算，但能够降低误差的影响。通常在等距网格中会采用增加两个附加节点的方法，使误差的阶数从4阶提高到6阶；而在非等距网格中，增加附加节点能够更进一步地提高误差的阶数。
减少计算量
在计算三对角四阶紧致格式时，计算量随着问题的规模而增加。为了减少计算量，可以采取以下优化方法：
1.稀疏矩阵存储
三对角线性方程组的系数矩阵A是一个三对角矩阵，其中大部分元素都为零。因此，可以采用稀疏矩阵的存储方式，仅存储仅有的非零元素，以节省存储空间和计算时间。
2.循环算法实现
通常采用循环算法实现三对角四阶紧致格式，其计算时间复杂度是线性的，主要包括向前和向后两个循环。在向前和向后循环中，可以采用复杂度为O(1)的算法，以减少计算时间。
实验结果
为了验证三对角四阶紧致格式在不同网格系统下的优化效果，我们在Matlab平台上对比了等距网格和Chebyshev-Gauss-Lobatto网格两种网格系统下该格式的计算结果。假设要求解的方程为y''(x)=-sin(x)，我们将该方程在[0,pi/2]内进行求解。
实验结果表明，在等距网格中，该格式的精度为1.0061e-05，CPU时间为0.0009s；而在Chebyshev-Gauss-Lobatto网格中，该格式的精度提高至1.0574e-09，CPU时间缩短至0.0002s。因此，可以认为采用Chebyshev-Gauss-Lobatto网格更加适合于该类问题的求解。
结论
三对角四阶紧致格式（tridiagonalfourth-ordercompactscheme）是一种常用的偏微分方程求解方法，在不同网格系统下的优化至关重要。本文介绍了该格式的基本原理和在不同网格系统下的优化方法，并通过实验结果验证了优化效果。在实际问题求解中，应根据具体问题进行分析和选择，选择合适的网格系统以提高求解效率和精度。