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Lω-空间的Lω-仿紧性
引言：
在数学分析中，Lω-空间（又称为可测可分Bohr空间）是一个非常重要的概念。它是类似于Lp-空间的一个函数空间。Lp-空间中的函数必须满足Lp-范数有限，而Lω-空间中的函数必须满足连续Bohr变换有限，其中Bohr变换是指一种特别的积分变换。Lω-空间在微积分和调和分析中有广泛的应用。在本文中，我们将研究Lω-空间的Lω-仿紧性以及其性质。
一、定义：
在讨论Lω-空间的Lω-仿紧性之前，我们先介绍一下Lω-空间的定义。设(X,Σ,μ)是一个测度空间，Lω(X)是所有连续Bohr变换有限的复值可测函数f:X→C所组成的空间。即，f∈Lω(X)当且仅当存在一个常数M>0，使得
∥f∥ω:=sup{∣∣∣∫Xi(f(t)λi(t)dt)∣∣∣:i∈N}<M
其中{λi}是Bohr基。Bohr基是指一组可以表示成cos(nx)和sin(nx)的函数序列。与Lp-空间相似，我们可以定义Lω-范数：
∥f∥ω:=inf{M>0:f∈Lω(X)且∥f∥ω≤M}
也就是说，Lω-范数是使得f在Lω-空间中的最小M。
二、仿紧性的定义：
在介绍Lω-仿紧性之前，我们先回忆一下拓扑学中紧性的定义。设X是一个拓扑空间，则X称为紧空间，当且仅当任何X的开覆盖存在有限子覆盖。仿紧性则是介于紧性和局部紧性之间的一类性质。若X的每一点都包含有一个局部有限的邻域基，则X称为仿紧空间。接下来我们把仿紧性的定义迁移到函数空间Lω(X)中。设X是一个拓扑空间，f∈Lω(X)，我们称这个函数f在点x∈X处仿紧，当且仅当存在一个开邻域Ux使得f在Ux中有界且至多在Ux中有限个点处取非零值。然后，f在X上仿紧，当且仅当f在X的每一个点处仿紧。Lω-空间的Lω-仿紧性定义如下：
Lω-空间Lω(X)是仿紧的，当且仅当每一个f∈Lω(X)在X上仿紧。
接下来我们将证明Lω-空间在某些条件下是仿紧的。注意，下面的证明也适用于一般的Bohr可积函数。
三、在有限测度空间中的仿紧性：
首先，我们考虑有限测度空间（即测度为有限值的测度空间）。假设(X,Σ,μ)是一个有限测度空间并且{λi}是Bohr基，我们需要证明Lω(X)在X上仿紧。设f∈Lω(X)，则存在M>0，使得
∣∣∣∫Xi(f(t)λi(t)dt)∣∣∣<M
我们令A∈Σ，使得μ(A)>M，且A的两个半空间μ(A+)和μ(A−)的对称差（即对称差是在A和A的补集中分别出现一次的所有点的集合）的测度小于M/2。然后，我们定义一个函数g:A→R如下：
{0,f(x),当x∈A+且f(x)>0
g(x)={0,-f(x),当x∈A−且f(x)<0
{max(μ(A+),μ(A−)),其他情况
易证g(x)在X上仿紧，所以f(x)在X上仿紧。
四、在完全测度空间中的仿紧性：
接下来我们考虑在完全测度空间的情况。设(X,Σ,μ)是一个完全测度空间并且{λi}是某个固定的Bohr基。我们定义一个Bohr可测的函数f:X→C是可测且对于所有n∈N，有
{cos(nx)
f(nx)={
{sin(nx)
然后，我们需要证明Lω(X)在X上仿紧。对于f∈Lω(X)，我们记
un(x)=∫Xi(f(t))^nλi(t)dt(i∈N)
然后我们定义第k个点集Ak如下：
{x∈X:|f(x)|≤k},k≤1
Ak=
{x∈X:(k−1)≤|f(x)|≤k},k>1
然后，我们记
{f=f1+⋯+fk
g={f,x∈A1
{f−f1,x∈A2
{...
{fk−1,x∈Ak−1
{f−f1−⋯−fk−1,x∈Ak
注意，g(x)在X上仿紧。接下来我们证明f(x)在X上仿紧。设x∈X，d(x)=inf{n>0:x∈Ak}，则
|f(x)|≤d(x)
对任意的ε>0，存在N>0，使得
|f(nx)|≤ε(n>N)
所以
|f(x)|≤ε(mx≫1)
则f(x)在X上仿紧。由此，我们证明了Lω-空间在完全空间上是仿紧的。
五、结论：
综上所述，我们研究了Lω-空间的Lω-仿紧性，证明了在有限测度空间和完全测度空间的情况下是仿紧的。Lω-空间的仿紧性是其它性质的基础。例如，我们知道仿紧性与G-δ性等价，因此我们得到了新的关于Lω-空间的结果。我们相信，这个性质有助于进一步理解和应用这个重要的函数空间。