2013年高考真题——理科数学（北京卷）Word版缺答案.doc

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理）
本试卷，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则 （）
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点位于（）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）“”是“过坐标原点”（）
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
（C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

（A）
（B）
（C）
（D）
（5）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（）
（A）（B）（C）（D）
（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
（A）QUOTE （B）QUOTE（C）QUOTE（D）
（7）直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（）
（A） （B）（C） （D）

（8）设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）

第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于_____。
（10）若等比数列满足，，则公比__________;前项_____。
（11）如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则__________，__________
（12）将序号分别为的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是__________。
（13）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________。
（14）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在中，，，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。

(16)(本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（17）（本小题共14分）
如图，在三棱柱中，是边长为的正方形。平面平面，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。

（18）（本小题共13分）
设为曲线在点处的切线。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方。

（19）（本小题共14分）
已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点。
（Ⅰ）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由。

（20）（本小题共13分）
已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，。
（Ⅰ）若为，是一个周期为的数列，（即对任意，），写出，，，的值；
（Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列。
（Ⅲ）证明：若，，则的项只能是或者，且有无穷多项为。