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高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象

摘要：随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。比较光强的变化。
关键词：高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程

一、引言
随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。本文主要研究光强的变化，通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。

二、预备知识
（一）波动方程
波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用Maxwell方程组来描述：

(1-1)
其中，
上式中为电场强度，为电位移，为磁场强度，为磁感应强度，一般情况下他们都是矢量且为时间空间坐标的函数，还满足物质方程：
(1-2)
式中为电极化强度，为电流密度，为自由电荷密度，为电导率，为磁化强度。

在线性极化情况下

式中为介质的线性极化率。
在非磁，各向同性均匀介质中，，在区域中，由(1-1)的第二式、(1-2)中第一式，有，将(1-2)第二式代入(1-1)第一式，等式两边取旋度，有
(1-3)
由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得
(1-4)
将(1-4)代入(1-3)，由可得
(1-5)
因为，(1-5)整理后可得
(1-6)
对于无损介质（等效于）有
(1-7)
式中为真空中的光速：
(1-8)
(1-6)、(1-7)为线性光学的基本方程。

（二）赫姆霍茨方程
激光光学中常用复数E（公式中用代替方便输入）表示电场强度：
(2-1)
(2-2)
介质的电极化强度也可以用复数表达式：
(2-3)
(2-4)
(2-5)
式中带“”量为共轭量。
利用(2-1)—(2-5)式可将(1-7)式化为
(2-6)
式中为复折射率
(2-7)
在标量场假设下，(2-6)式成为
(2-8)
在真空中，，于是有
(2-9)
(2-8)、(2-9)式都称为赫姆霍茨方程。

（三）高斯光束表达式推导
由前面分析可知稳态传输电磁场满足赫姆霍茨方程
(3-1)
式中与电场强度的复表式间有关系：
(3-2)
由数理方程基本知识可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解。高斯光束则不同，它不是（3-1）式的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。设
(3-3)
在SVA（缓变振幅）近似下有
(3-4)
利用(3-4)式可将(3-1)式在柱坐标下写为
(3-5)
在旋转对称情况下与无关，(3-5)式简化为如下的抛物方程
(3-6)
为了求得(3-6)式的一个特解，可设在处有一振幅为
(3-7)
的高斯光束，然后求在任意处的。式中为振幅常数，如果只考虑相对值，则可由归一化条件求出。定义为处场振幅减小到最大值的值，称为腰斑（或光腰，束腰），它是高斯光束光斑半径的最小值。
设试探解为
(3-8)
式中、为待定函数，满足
(3-9)
将(3-8)式微分后代入(3-6)，整理得到
(3-10)由(3-10)对任意成立条件得到下面两个关系式
(3-11)
式中'表示。微分方程组(3-11)在边界条件为(3-9)式时的解为
(3-12)
式中
(3-13)
称为共交参数。
于是我们证明了，形如
(3-14)
的高斯光束是