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高阶张量的低秩分解快速算法研究的开题报告
一、研究背景
高阶张量作为一种多维数据形式，广泛应用于计算机科学、统计学、物理学、化学等领域，包括图像处理、信号处理、机器学习、网络流媒体等方面。但是，高维张量的存储和计算都很困难，这也限制了高阶张量在“大数据”时代的应用。
张量分解是一种重要的方法，用于将高阶张量表示为低秩张量的乘积形式，而低秩张量更易于存储和计算。矩阵分解（如SVD、PCA）已经得到广泛应用，其分解效率和精度均得到了保证。然而，相比于矩阵分解，高阶张量的低秩分解仍然存在很多挑战。因此，本文提出了一个快速算法来解决这个问题。
二、研究内容
本文的研究重点是高阶张量的低秩分解快速算法。我们的算法主要分为三个步骤：
1.高斯消元法：将高阶张量拆分为矩阵的形式；
2.ALS算法（交替最小二乘）：通过交替最小二乘法迭代求解低秩分解；
3.基于贪心算法的秩选择：通过贪心算法选择合适的秩，以获得最小的近似误差。
三、研究意义
该算法的研究意义如下：
1.提高了高阶张量低秩分解的效率和精度，为高阶张量的处理和应用提供了更好的支持；
2.开拓了高阶张量的新领域和应用，促进了机器学习、数据挖掘等领域的发展。
四、研究方法
我们的研究方法具体是：
1.对高阶张量的低秩分解问题进行数学建模，利用数值分析和优化理论的方法研究高阶张量分解问题；
2.基于数值分析理论，提出高阶张量的低秩分解快速算法；
3.利用数值计算软件MATLAB进行模拟实验，探究算法的正确性、精度和效率，并与其他算法进行比较。
五、预期成果
本课题的预期成果如下：
1.提出一种高阶张量的低秩分解快速算法；
2.通过实验，验证本算法的正确性、精度和效率，并与其他算法进行比较；
3.对该算法的应用进行案例分析，探索该算法在机器学习、数据挖掘等领域的应用，为相关领域研究提供参考。
六、研究计划
本研究的计划如下：
1.第一学期：阅读相关文献，学习数值分析和优化理论的知识，进行数学建模，确定研究思路和方法；
2.第二学期：提出高阶张量的低秩分解快速算法，实现并进行分析；
3.第三学期：利用MATLAB进行模拟实验，验证算法的正确性并进行比较；
4.第四学期：对该算法进行应用案例分析，并撰写论文。
七、参考文献
1.KoldaT.G.,BaderB.W.TensorDecompositionsandApplications[J].SIAMReview,2009,51(3):455-500.
2.XieX.,CichockiA.Low-RankTensorCompletionBasedonAlternatingDirectionMethodofMultipliers[J].IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,2013,35(6):1548-1563.
3.KhoromskijB.N.ShortSurveyofTensorApproximationMethods[J].MathematicalModellingandAnalysis,2012,17(3):315-338.
4.叶俊,王荣华.张量分解——理论与应用[M].高等教育出版社,2019.
5.KoldaT.G.,SunJ.ScalableTensorDecompositionsforMultidimensionalData[M]//TensorMethodsforDataAnalysis.SpringerInternationalPublishing,2016:1-34.