计算声学数值计算中的误差分析课程.pptx

会计学前言波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动
特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，
为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设：
（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学性质保持不变；
（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗，即忽略介质的粘滞性和热传导性；
（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都是一级小量。
波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状
态方程和运动方程推导得到。波动方程：
理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿轴向传播）：

小振幅声压在三维坐标下的波动方程为

为拉普拉斯算符，在直角坐标系中海洋声场的数值预报
在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声
场物理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海
洋环境参数的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给
出相应海洋环境条件下的有关场值。近年来，由于计算机的
快速发展，数值计算声场是一个快速发展的领域。
海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、
抛物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同
的适应范围。前言前言前言前言伪彩色图前言前言前言前言微分方程求解：随机共振系统对微弱信号的检测非线性双稳态随机共振系统

利用四阶龙格库塔算法求解前言前言前言前言前言数值计算的对象、任务与特点数值计算的对象、任务与特点数值计算中的误差分析误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计绝对误差与绝对误差限
绝对误差：
设某一量的精确值为，其近似值为，则称
为近似值的绝对误差，简称误差。
时称为弱近似值或亏近似值；
时称为强近似值或盈近似值。
绝对误差限：如果存在，使得，则称
为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度（测量时，
测量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度
越高。在工程技术上常用表示近似值的精度或精确
值的范围。§2误差与数值计算的误差估计相对误差和相对误差限
相对误差：绝对误差与精确值之比，即
称为近似值的相对误差。
实际中，由于精确值一般无法知道，所以常取
作为近似值的相对误差。
相对误差限：若存在，使得，则称
为近似值的相对误差限。
注意：绝对误差和绝对误差限与有相同的量纲，相对误差
和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。例1.1国际大地测量学会建议光速采用
其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？§2误差与数值计算的误差估计有效数字
如果近似值的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准确”到这一位，且从该位开始直到的第一位非零数字共
有n位，则称近似数有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度
（绝对误差限）。

例1.2 设，其近似值，问有
几位有效数字？如果，有几位有效数字？练习题§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计误差的传播与估计
实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误差，这些误差在运算过程中会进行传播，影响计算结果。一元函数的泰勒（Taylor）中值定理：
如果函数在区间内有直到阶导数，
，则有

其中，拉格朗日型余项

（介于之间）。§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计由此可以得到两近似数的和、差、积、商的误
差估计（绝对误差）为例1.4经过四舍五入得到，，问他们
分别具有几位有效数字？，，，的
绝对误差限分别是多少？§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计§2误差与数值计算的误差估计例1.6设，，都精确到2位小数，
估计的相对误差。§2误差与数值计算的误差估计在由误差估计式得出绝对误差限和相对误差限
的估计时，由于取了绝对值并用三角不等式放大，
是按照最坏情形得出的，所以结果是保守的。
一般来说，为了保证计算结果的精确度，在计
算过程中，比结果中所要求的有效数字位数多取1位
或2位就可以了。计算机只能对有限位数进行计算，从而在运算
中产生误差是不可避免的。许多实际问题的求解往
往需要进行成千上万次的数值计算，为了保证计算
结果的可靠性，必须防止误差的产生、传播与扩大
。一个好的算法应该是计算量小、精度高，算法稳
定，在计算过程中占用计算机的存储单元和工作单
元少。§3选用和设计算法时应遵循的原则减少运算误差的几项措施：
1.选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播；
在数值计算中，对于某一问题选用不同的算法，所得到
的结果往往不同，有时甚至大不相同。这主要是由于初始数
据的误差或计算时的舍入误差在计算过程中