【小学中学教育精选】2012广东理科高考数学试题及答案.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A
数学（理科）
本试卷，21题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。
锥体的体积公式为，其中为锥体的底面积，为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设为虚数单位，则复数=
A．B．C．D．
【答案】D
设集合，，则=
A．B．C．D．
【答案】C
若向量，，则
A．B．C．D．
【答案】A
下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A．B．C．D．
【答案】A
已知变量满足约束条件，则的最大值为
A．12B．11C．3D．－1
【答案】B
某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12πB．45πC．57πD．81π
【答案】C
从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是
A．B．C．D．
【答案】D
对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=
A．B.1C.D.
【解析】：因为，
且和都在集合中
所以，，，所以
所以，故有
【答案】B
二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）
不等式的解集为_____。
【答案】
的展开式中的系数为______。（用数字作答）
【答案】20
已知递增的等差数列满足，，则=____。
【答案】
曲线在点（1，3）处的切线方程为。
【答案】

执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。

【答案】8
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为
（为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为_______。
【答案】（1，1）
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。
【答案】

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数，（其中，）的最小正周期为10π。
（1）求的值；
（2）设，，，求的值。
【答案】（1）；（2）

17.（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。
（1）求图中的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。

【答案】（1）；（2）
012
18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
证明：BD⊥平面PAC；
若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

【答案】（1）略；（2）

19.（本小题满分14分）
设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列。
求的值；
求数列的通项公式。
证明：对一切正整数，有.
【解答】（1）；（2）；
（3）当时

又因为
所以，
所以，
所以，
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。
【解答】：（1）由，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以

所以，当时，有最大值，可得，所以
故椭圆的方程为：
（2）因为在椭圆上，所以，
设，
由，得
所以，，可得
并且：，
所以，
所以，

设点O到直线AB的距离为，则
所以
设，由，得，所以，
，
所以，当时，面积最大，最大为。
此时，

21.（本小题满分14分）
设，集合，，。
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在内的极值点。
【解答】：（1）对于方程
判别式
因为，所以
当时，，此时，所以；
当时，，此时，所以；
当时，，设方程的两根为且，则
，

当时，，，所以
此时，

当时，，所以
此时，
（2），
所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数
当时，因为，所以在D内没有极值点；
当时，，所以在D内有极大值点；
当时，

由，很容易得到
（可以用作差法，也可以用分析法）
所以，在D内有极大值点；
当时，

由，很容易得到
此时，在D内没有极值点。
综上：当或时，在D内没有极值点；
当时，在D内有极大值