cmKdV方程的Darboux变换及其无穷守恒律的任务书.docx

cmKdV方程的Darboux变换及其无穷守恒律的任务书
任务书
1、背景
非线性科学是物理、数学、力学、天文学、电子学等多个学科交叉融合的产物，它研究的问题涉及到自然界万物的运动规律，比如地震、气象、生态、人口、病毒、经济、政治等现象。
在非线性科学中，微分方程是最重要的数学分支之一，很多现实问题可以化成微分方程模型。然而大多数情况下，我们无法用解析方法直接求解微分方程，因此常常需要借助于变换方法和无穷守恒律等手段来得到微分方程的一些特殊解或守恒律等物理量，以方便我们研究问题。
在本任务书中，我们将探究一类重要的非线性演化方程——cmKdV方程，及其Darboux变换及其无穷守恒律。
2、任务
2.1了解cmKdV方程的基本概念和性质
了解cmKdV方程的定义，基本性质及存在的物理背景等。主要包括以下内容：
（1）cmKdV方程的定义；
（2）cmKdV方程的基本性质；
（3）cmKdV方程的物理背景。
2.2掌握cmKdV方程的Darboux变换
介绍Darboux变换的概念，原理及应用，然后以cmKdV方程为例，介绍其Darboux变换的求解方法。主要包括以下内容：
（1）Darboux变换的基本概念和原理；
（2）cmKdV方程的Darboux变换及其求解方法。
2.3掌握cmKdV方程的无穷守恒律
对cmKdV方程的无穷守恒律进行介绍和推导，并给出具体的应用实例。主要包括以下内容：
（1）非守恒性用途的概念及原理；
（2）金波（Jin-Wang）对cmKdV方程无穷守恒律的推导；
（3）无穷守恒律的具体物理意义和作用；
（4）应用实例。
3、输出
本次任务的输出内容包括：
（1）论文：撰写一篇文章，系统的介绍cmKdV方程的基本概念和性质、Darboux变换的基本概念和原理，以及cmKdV方程的Darboux变换及其无穷守恒律等内容，要求文献综述、推导过程、实例分析齐备。字数不少于1200字。
（2）PPT汇报：针对论文的主要内容，制作一份PPT文稿，并且进行演讲，时间控制在10-15分钟之间。
（3）实现程序：可以选择使用MATLAB，对cmKdV方程进行数值计算，实现特殊解的求解，并对无穷守恒律进行验证。
4、参考文献
[1]张李.非线性科学数学方法[M].北京:人民教育出版社,2012.
[2]李永胜，刘永飞.非线性演化方程的Darboux变换[J].中国科学:物理学、力学、天文学,2019,49(12):1404-1414.
[3]JinR，WangY.Multi-solitonsolutionsandconservationlawsofthecomplexmodifiedKdVequation[J].PhysicsLettersA,2003,305(2):105-109.