几类随机微分方程和随机偏微分方程数值解法研究的任务书.docx

几类随机微分方程和随机偏微分方程数值解法研究的任务书
任务书
一、研究背景
随机微分方程和随机偏微分方程是现代概率论、随机过程、统计物理和金融工程等领域中非常重要的数学工具。它们描述了一个变量在随机噪声作用下的演化规律，因此在实际问题中具有重要的应用价值。例如，随机微分方程应用于股票价格的模拟和风险分析、天气预报和气象学模拟、化学反应动力学、信号处理和控制论等领域；随机偏微分方程应用于牛顿流体的耗散行为、扩散过程、分子扩散和缺陷扩散、材料科学以及交通和交通网络研究等。
随机微分方程和随机偏微分方程的研究涉及到数学、物理、统计等多个领域，本研究任务的目的是探究其数值解法。
二、研究内容
1.随机微分方程的数值解法：研究随机微分方程首先考虑如何数值解法解决。目前较为主要的数值解法有：欧拉方法、Milstein方法和Malliavin方法等。欧拉方法是最简单的数值解法。本课题要求研究欧拉方法的精确度，并进行一些数值结果的实现。
2.随机偏微分方程的数值解法：研究随机偏微分方程的数值解法是难点，本任务的重点是探究蒙特卡洛方法和有限差分方法两种数值解法。将研究Fokker-Plank方程、Kramers-Einstein方程的数值解法，并进行数值结果的对比和实现。
3.相关应用研究：将以上所述的数值解法用于具体的应用场景中。以期了解如何使用随机微分方程和随机偏微分方程作为工具来设计和解决实际问题。
三、研究任务
1.阅读相关文献，熟悉随机微分方程、随机偏微分方程的理论知识和数值解法。
2.分别研究欧拉方法、Milstein方法和Malliavin方法三种随机微分方程的数值解法，并对数值结果进行实现和分析。
3.研究蒙特卡洛方法和有限差分方法两种随机偏微分方程的数值解法，并对Fokker-Plank方程、Kramers-Einstein方程进行数值结果的对比和实现。
4.通过实际例子将以上所述的数值解法用于具体应用场景中，解决实际问题。
5.撰写数值计算报告，总结并解释所有数值结果。并分析总结所得到的结论和认识。
四、参考文献
1.Kloeden,P.E.,&Platen,E.(1992).Numericalsolutionofstochasticdifferentialequations(Vol.23).SpringerScience&BusinessMedia.
2.Higham,D.J.(2001).Analgorithmicintroductiontonumericalsimulationofstochasticdifferentialequations.SIAMreview,43(3),525-546.
3.Lord,G.J.,Powell,C.E.,&Shardlow,T.(2014).AnintroductiontocomputationalstochasticPDEs.CambridgeUniversityPress.
4.邵培基、卢荣祥(2007).随机微分方程及其数值解法.科学出版社.
五、研究成果
1.完成关于随机微分方程和随机偏微分方程的研究。
2.完成欧拉方法、Milstein方法和Malliavin方法等随机微分方程的数值解法的研究，并进行实现和分析。
3.完成蒙特卡洛方法和有限差分方法等随机偏微分方程的数值解法的研究，并对Fokker-Plank方程、Kramers-Einstein方程进行数值结果的对比和实现。
4.用所述的数值解法布局实际应用场景并解决实际问题。
5.完成数值计算报告，总结并解释数值结果，并分析总结所得到的结论和认识。