理学概率论随机变量的数字特征.pptx

基本要求:第一节数学期望2.连续型注意：[例4.1]设X服从(0---1)分布,即P{X=1}=p,P{X=0}=q,求EX.[例4.3]设X~B(n,P),求EX.[例4.4]设X在[a,b]上服从均匀分布,求X的均值.[例4.5][例4.6]设X服从参数为λ的指数分布,求EX.*[例4.7]设X服从参数λ＞0，r＞0的伽马(Gamma)分布，其分布密度为:*[例4.8]设X服从柯西分布,其分布密度为:*[例4.9]设(X1,X2)服从二维正态分布,求(X1,X2)的均值.二、随机变量函数的数学期望证明:定理2设z=g(x,y)是二元连续函数,Z=g(X,Y)是二维随机变量的函数.注意:[例4.10]设X的分布律为[例4.11]设X的分布密度为[例4.12]设(X,Y)的(联合)分布律为:[例4.13]设(X,Y)的联合分布密度为:小结三、数学期望的性质证明(4)*[例4.14]设随机变量X服从超几何分布,其分布律为:显然X=X1+X2+…+Xn,由性质(3)得:例4.15市内由甲地到乙地须先乘汽车再乘电车,乘汽车和电车运行的时间分别为18分钟和20分钟,汽车每4分钟开出一辆,电车每6分钟开出一辆.设乘客到达车站的时刻是随机的,因而等汽车所用的时间X~U[0,4],等电车所用的时间Y~U[0,6],求由甲地乘车到乙地所须时间的平均值.例4.16一工厂班车载有20位职工自工厂开出,中途有10个车站可以下车.在每一个车站如没有人下车便不停车.设每位职工等可能地在各个车站下车,并设各人是否下车相互独立,以X表示停车次数,求E(X).第二节方差[例4.17]设X服从(0---1)分布,求DX.[例4.18]设解:[例4.21]设X服从参数为λ的指数分布,求X的方差与均方差.二、方差的性质证明(3)[例4.22]设X~B(n,p)求DX解2:证1:[例4.24]设随机变量的均值为EX,方差为DX(>0),引入新随机变量:注意:下面的定理说明,由随机变量的数学期望和方差,
也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息.证明:第三节协方差与相关系数协方差的性质证明:解:(2)为X与Y的相关系数或标准协方差.注意:三、有关相关系数的定理（2）定理2如果X与Y相互独立,则X与Y不相关.证明:[例4.27]设(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),(2,0),(0,2),试问X与Y是否独立?是否相关?即X与Y不相关.四、原点矩与中心矩五、混合矩与协方差矩阵则协方差矩阵定义为:[例4.29]设(X,Y)服从二维正态分布,试写出(X,Y)的协方差矩阵.