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几类图的交叉数问题研究的任务书
任务书
一、背景和意义
图论是数学中的一个分支，本质上研究的是有限点集、线集合和点与线之间的联系。交叉数作为图论中经典的问题之一，用于描述图中边之间相互交叉的情况，广泛应用于计算机科学、电路设计、社会网络分析等领域。这是因为在现实生活中，许多问题都可以转化为图形模型，而理解和优化这些模型所需的计算能力和技巧很大程度上依赖于图形交叉数的计算。
由于交叉数问题的计算复杂度高，难度大，并且现实中应用也较为广泛，相关研究一直是图论研究的重要方向之一。目前，已经有许多关于图的交叉数问题研究的成果，结合这些成果对不同类型的图进行分类研究，是深入探究图的交叉数问题的有效方式。
二、研究内容
1.定义图交叉数及其计算方法
图交叉数是指图中边之间相交的总数，它记录的是图的结构信息。图的交叉数直接影响了图的可视化效果、算法设计和分析效率。本研究将系统地阐述图交叉数的定义和计算方法，包括传统方法、分治法、近似算法等。
2.分类研究平面图的交叉数问题
平面图是指没有边交叉的图形，它在很多情况下可以更好地表达实际问题。由于平面图的结构特殊，在计算交叉数问题时有一定的优势。本研究将平面图分类，分别研究完全平面图、三角剖分平面图、平面图及其子类的交叉数问题。
3.分类研究网格图的交叉数问题
网格图是二维正交网络，在计算机视觉、计算机图形学和集成电路设计中被广泛使用。本研究将网格图分类，并对其交叉数问题进行分类研究。
4.分类研究二分图的交叉数问题
二分图是指图中的节点可以分成两类，相同类别的节点之间没有连边。本研究将二分图分类，并着重研究其交叉数问题。
5.算法实现
研究交叉数问题的目的不仅是得出理论研究结果，更为重要的是将这些结果应用到实际计算中。因此，本研究将探索并实现各种交叉数计算算法，并优化计算效率。
三、预期成果
本研究计划通过对不同类型图的交叉数问题进行分类研究，得出更加深入的理论结果，为计算机科学、电路设计和社交网络分析等领域提供有效的算法和数据结构支持。
具体来说，预期达成以下成果：
1.对平面图、网格图和二分图等不同类型图的交叉数问题进行了系统分类研究，提出了相应的计算模型和算法解决方案。
2.设计了高效的交叉数计算算法实现，并测试了其在实际问题中的表现。
3.基于交叉数计算成果，将其应用到实际问题中，为相关领域提供有效的计算支持。
四、研究方法和步骤
本研究将综合运用数学理论、算法设计和计算机编程技能，采用以下步骤和方法：
1.建立图论模型，定义图的交叉数并分析其性质。
2.根据平面图、网格图和二分图等图形的结构特征，将不同类型图的交叉数问题进行系统分类研究。
3.设计分治法、近似算法等高效的交叉数计算算法，并通过计算实验对比测试其效果。
4.将交叉数计算算法应用于实际问题中，例如计算机图形学、计算机视觉等领域，测试其可行性和计算效率。
5.撰写研究论文，并在相关领域的会议和期刊上发表。
五、考核方式和成果要求
考核方式：
1.中期考核：评估研究进展情况和论文写作进度。
2.结题考核：要求论文内容系统完整、方法可行有效、成果丰硕。采用报告答辩和期刊论文发表等方式进行考核。
成果要求：
1.总结图交叉数的定义、性质及计算方法。
2.分类研究平面图、网格图、二分图等不同类型图的交叉数问题，提出相应的计算模型和算法解决方案。
3.设计并实现高效的交叉数计算算法，测试其在实际问题中的表现。
4.基于交叉数计算成果，将其应用到实际问题中，为相关领域提供有效的计算支持。
5.撰写一篇规范、系统、清晰的学术研究论文，并在相关领域的会议和期刊上发表。
六、参考文献
1.DiBattista,G.,Tamassia,R.,&Tollis,I.G.(1994).Arearequirementandsymmetrydisplayofplanarupwarddrawings.JournalofAlgorithms,17(2),295-323.
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3.Fulek,R.,&Pelsmajer,M.J.(2019).Gridintersectiongraphs:Asurvey.arXivpreprintarXiv:1909.00027.
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5.Pach,J.,Tóth,G.,&Wenger,R.(2003