主成分进行综合评价 综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较.doc

书山有路勤为径学海无涯苦作舟。主成分进行综合评价综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较统计研究主成分分析方法和因子分析方法都是寻求从高维空间到低维空间的映射的方法其目的是起到降维的效果以便于用几个较少的综合指标来综合所研究总体各方面的信息且这几个指标所代表的信息不重叠也就是说从高维空间到低维空间的映射仍保持高维空间的“序”的结构。但这两种综合评价方法往往易混淆本文从这两种方法的统计依据、数学模型、计算方法、综合指标的选取等方面比较它们的异同以供初学者参考。１、统计依据不同。主成分分析方法的统计问题。依Ｐ个指标戈ｌｘ２Ａ戈Ｐ的／７个观察值矩阵Ｘ＝Ｇ０帅（已作标准化处理）能否找到能较好地综合反映这个Ｐ.二指标的线性函数Ｙ＝乞ａｔｘｔ即ｉ＝１找到这个主成分的方法就是主成分分析方法。因子分析方法的统计问题仍口由Ｐ个指标戈。戈。Ａ却的几个观钱道察信息阵Ｘ＝ＧＦ）忡用有限个不翠可观测的潜在变量来解释原始变量间的相关性或协方差关系寻求这几个公因子的方法就是因子缉含汗价士气分析劣珐乡图分奸劣珐的火仪分析法。它的原理源于已知信息的指标向量戈＝０。戈。Ａ菇Ｐ）’总存在正交变换戈＝Ｑｙ使得记ｘ＝Ａｚ这里正交阵Ｑ是Ｘ＝Ｇ０。巾的协方差阵ｙ的特征向量排成的ｙ的各分量是不相关的若茹的方差集中在少数几个变量三Ａ缸上即ｙ的特征值ＡＡＡ。较大后几个特征值Ａ㈨ＡＡ。很小几乎为零于是就有因子模型算＝４厂＋ｓ。寻求公因子.厂及因子载荷阵Ａ的方法就是因子分析法。２、数学模型不同。主成分分析的数学模型。Ｙ＝Ｅａｔ..ｒｉ１＝１即主成分是原始指标的线性函数。因子分析的数学模型（称因子模型）：戈＝４厂＋￡Ａ为因子载荷阵。厂为公因子向量￡为随机误差项Ｖｎｒｏｑ＝Ｉ。Ｖａｒ（厂＋８）＝ｏＶａｒＩ３０圈羹堑绻过丝Ｑ丝生皇塑万方数据（８）＝Ｄ。从形式上看二者的模型不同但主成分分析又为因子分析中因子的寻求提供了一个有效的途径。主成分分析与因子分析法最易混淆的地方在于将主成分分析方法与因子分析方法中估计公因子及因子载荷阵的主分量（主因子）法混为一谈。求解因子模型的方法有多种也就是说因子模型的解不惟一主分量（主因子）法仅仅是其中的一种参数估计方法。３、计算方法不同。因子分析的主分量法。为估计模型石气伊￡的Ａ及.厂＇设样本协方差阵ｙ的特征值为Ａ１＞－－Ａ：≥Ａ≥Ａ≥０相应的特征向量为ｅｅ２Ａｅ若前ｏ.个特征值的和与总方差上４的比大于则ｌｏＩＶｚＡｇｌｅ。＋人＋丸已。ｅｍ７＋Ｄｆ√五彳１ｆ《１＝（√丑ｑＡ√厶％１ＭＩ＋ＩＯＩ√九Ｌ.ＩＩ盯；Ｊ＝ＡＡ’＋Ｄ因子载荷阵Ａ２（√丑巳人√丸％）砰＝％一∑彳（汪ｌ２.Ａｐ）ｔ＝ｌ由这种方法得到因子模型的一个解Ａ及Ｄ就是因子模型的主分量解。因子载荷阵Ａ中的第Ｊ列的元素与Ｄ主成分分析中第个主成分乃＝∑唧＾的系数啕仅相差ｒ－Ｉｄ√＾倍因子分析的主分量解也是因此而得名。因子载荷阵Ａ舻（６０的第ｉ行元素的意义：由模型ｘ＝价Ｅ及Ｖ＝ＡＡ７＋Ｄ看出Ｖａｒ（ｘｉ）＝ｂ２１怕刍＋Ａ坛＋研即ｂ；反映了因子.五载荷了施的方差的量。故我们在求解因子模型时可将因子作旋转使因子载荷阵中每一行的值尽可能两极化（接近于０或接近与±１）使其因子更具实际意义这样就有了因子旋转的方法求解因子模型。石＝Ａｐ８＝ＡＰｌ盼８令ｇ＝可Ｂ＝ＡＰｌ则髫＝则为斜交变换。曰为因子模型的又一解。４、综合评价的指标不同。因子得分是公因子的估归分析中的参数估计因为公因子是潜在因素事先无法度量和观察的。有了因子得分它们的加权组合就得到综合评价指标Ｅ。即.ｆ个因子的得分为向量《旁丑.∑一羔Ａ。。（下转第３２页）盼￡若Ｐ为正交阵则上述变换ｇ＝可为正交变换否计值。可用最小二乘回归的方法估计但它又不同于回统计研究出相应的研究结果。“旧房（二手房）房价收入比”是指某一整体内上市旧房（－－手房）上市交易的平均价格与居民家庭户均收入的比例这一指标与新房房价收入比对照可用于评估该整体内的旧房折旧程度也可以比较居民家庭对新旧住房的需求情况从而得出研究结果。在计算新房房价收入比与旧房房价收入比基础上再按上市住房总蜃中新