将军饮马模型(终稿)-将军饮马最大值模型.doc

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将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天,一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营Ａ出发,先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短;
三角形两边三边关系;轴对称；平移；
【解题思路】找对称点,实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1。两定一动型:两定点到一动点的距离和最小
例1:在定直线ｌ上找一个动点Ｐ,使动点Ｐ到两个定点A与Ｂ的距离之和最小，即PＡ+ＰB最小.

作法：连接AＢ,与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA＋PＢ最小,且最小值等于ＡB．
原理：两点之间线段最短。

证明:连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点,
在⊿ＰAＢ中,由三角形三边关系可知:AP+PB≧AＢ(当且仅当PQ重合时取﹦)

例２:在定直线l上找一个动点Ｐ，使动点Ｐ到两个定点A与B的距离之和最小，
即ＰA+ＰB的和最小。

关键：找对称点
作法：作定点B关于定直线l的对称点C,连接ＡC,与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA＋PB和最小，且最小值等于ＡＣ．
原理:两点之间,线段最短
证明:连接ＡC,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点,
在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP＋PＣ≧AC（当且仅当PQ重合时取﹦)

2。两动一定型
例3:在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△ＢAＣ周长最短.

作法：作点A关于OＭ的对称点A',作点A关于ON的对称点A’’，连接Ａ'Ａ'’,与OM交于点B,与OＮ交于点C,连接AB,AC,△ＡBC即为所求.

原理：两点之间，线段最短

例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ＯN上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A'，作点B关于OＮ的对称点B’，连接A'B’,与OM交于点Ｃ，与OＮ交于点Ｄ,连接AC,BD,AＢ，四边形ＡＢCD即为所求.
原理:两点之间,线段最短

3。两定两动型最值
例5：已知A、Ｂ是两个定点，在定直线l上找两个动点Ｍ与N，且MN长度等于定长ｄ(动点Ｍ位于动点Ｎ左侧），使AＭ+ＭN+ＮＢ的值最小。
提示:存在定长的动点问题一定要考虑平移

作法一:将点A向右平移长度d得到点A’，作A＇关于直线l的对称点A'’，连接A’’Ｂ,交直线l于点N,将点N向左平移长度ｄ，得到点Ｍ。
作法二:作点Ａ关于直线l的对称点A１，将点A１向右平移长度ｄ得到点A2，连接Ａ2B,
交直线ｌ于点Ｑ,将点Q向左平移长度d,得到点Q。
原理:两点之间，线段最短，最小值为A’’Ｂ+MN

例6:（造桥选址)将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情,已知河流的宽度为30米,请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

例6：直线ｌ1∥l2,在直线l１上找一个点Ｃ,直线ｌ２上找一个点D，使得CD⊥l2,且
ＡC＋ＢD+ＣD最短．

作法：将点Ａ沿CD方向向下平移CD长度d至点A'，连接A’B，交l２于点D，过点D作DＣ⊥l2于点C,连接AC.则桥ＣD即为所求．此时最小值为A’Ｂ+CD
原理：两点之间,线段最短，
４。垂线段最短型
例７：在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ＯN上找一点C,使得AB+BC最短．

原理：垂线段最短

点A是定点，OＭ，ON是定线,
点B、点C是OM、ＯN上要找的点，是动点.

作法:作点A关于OＭ的对称点Ａ＇,过点A’作Ａ'C⊥ON,
交ＯＭ于点B,Ｂ、C即为所求.
例8：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点Ａ与B的距离之差最小，即ＰA－PB最小.

作法:连接AB,作ＡB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PＡ－PB｜=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9：在定直线l上找一个动点C,使动点Ｃ到两个定点A与Ｂ的距离之差最大，即｜PＡ—PＢ｜最大

作法:延长ＢＡ交l于点Ｃ，点Ｃ即为所求，
即点B、A、Ｃ三点共线时,最大值为AB的长度。
原理:三角形任意两边之差小于第三边
例１０：在定直线l上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即｜ＰA—PB｜最大

作法:作点Ｂ关于l的对称点B，连接AＢ,
交交ｌ于点P即为所