数值分析典型例题与习题2.ppt

三、四章内容提要
典型例题分析化难为易初等行变换不改变方程组的解A(n–1)=Fn-1Fn-2·······F1A矩阵分解(Top10Algorithms)Demo1迭代法思想:迭代格式构造共轭梯度法的关键是构造一组两两共轭的方向(第k步迭代生成共轭方向张成k维子空间)。巧妙的是共轭方向可以由上次搜索方向和当前的梯度方向组合产生。复杂性:常用的范数:Hilbert矩阵条件数:
fori=1:10
c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i)
end,plot(1:10,c')范数(全局)ekT=[0···010···0]F1-1F2-1···Fn-1-1=例2.设A为对称矩阵。高斯消元法一步后,A约化为约化主元不为零的判断例4.严格对角占优矩阵的约化主元ak,k(k-1)≠0(k=1,···,n)。例5.Ax=b,其中A对称正定,问解此方程的Jacobi迭代法是否一定收敛？例6.例7.例8.例9.矩阵的Doolittle分解对A的元素aij,当j≥k和i≥k+1时矩阵L和矩阵U的元素计算公式①更新顺序:先行后列
②列除行不除
③旧元素减去所在行和列前k-1分量点乘的加和求矩阵的Doolittle分解步骤I:下三角方程组LY=f对称正定矩阵的Cholesky分解(1)对于非零向量,xTAx总是正的;
(2)A的顺序主子式全大于零;
(3)A的特征值全为正实数。
helpchol1)序列收敛
2)迭代矩阵谱半径小于1
3)迭代矩阵特征值全小于1
4)迭代矩阵范数小于1
5)反证法例10.设A是一个可逆矩阵,矩阵序列满足
Xk+1=Xk(2I–AXk)，（k=0,1,2,……）
则当时例11.(1)A–1=B(I+R+R2+…)；
(2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式
Xk+1=XkR+B(k=0,1,2,…)
产生的矩阵序列{Xk}收敛到矩阵A-1；
(3)对矩阵序列{Xk},有误差估计式收敛的w取值范围。例14.续例14.例15.例16.例17.例18.例18.例18.参考:WrittingFastMatlabCodes作业提示:提示:迭代法思想: