贝叶斯推断及其互联网应用.docx

贝叶斯推断及其互联网应用（一）作者：阮一峰日期：2011年8月25日一年前的这个时候我正在翻译PaulGraham的《黑客与画家》。那本书大部分谈的是技术哲学但是第八章却写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（英文版）？说实话我没完全看懂那一章。那时交稿截止日期已经过了没时间留给我去啃概率论教科书了。我只好硬着头皮按照字面意思把它译了出来。虽然交稿了译文质量也还可以但是心里很不舒服下决心一定要搞懂它。一年过去了我读了一些概率论文献逐渐发现贝叶斯推断并没有想象的那么难。相反的它的原理部分实际上很容易理解甚至不需要用到高等数学。下面就是我的学习笔记。需要声明的是我并不是这方面的专家数学其实是我的弱项。所以欢迎大家提出宝贵意见让我们共同学习和提高。=====================================贝叶斯推断及其互联网应用作者：阮一峰一、什么是贝叶斯推断贝叶斯推断（Bayesianinference）是一种统计学方法用来估计统计量的某种性质。它是贝叶斯定理（Bayes'theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在1763年发表的一篇论文中首先提出了这个定理。贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上也就是说你可以不需要客观证据先估计一个值然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强曾经遭到许多统计学家的诟病。贝叶斯推断需要大量的计算因此历史上很长一段时间无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后它才获得真正的重视。人们发现许多统计量是无法事先进行客观判断的而互联网时代出现的大型数据集再加上高速运算能力为验证这些统计量提供了方便也为应用贝叶斯推断创造了条件它的威力正在日益显现。二、贝叶斯定理要理解贝叶斯推断就必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。所谓"条件概率"（Conditionalprobability）就是指在事件B发生的情况下事件A发生的概率用P(A|B)来表示。根据文氏图可以很清楚地看到在事件B发生的情况下事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。因此同理可得所以即这就是条件概率的计算公式。三、全概率公式由于后面要用到所以除了条件概率以外这里还要推导全概率公式。假定样本空间S是两个事件A与A'的和。上图中红色部分是事件A绿色部分是事件A'它们共同构成了样本空间S。在这种情况下事件B可以划分成两个部分。即在上一节的推导当中我们已知所以这就是全概率公式。它的含义是如果A和A'构成样本空间的一个划分那么事件B的概率就等于A和A'的概率分别乘以B的条件概率之和。将这个公式代入上一节的条件概率公式就得到了条件概率的另一种写法：四、贝叶斯推断的含义对条件概率公式进行变形可以得到如下形式：我们把P(A)称为"先验概率"（Priorprobability）即在B事件发生之前我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posteriorprobability）即在B事件发生之后我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood）这是一个调整因子使得预估概率更接近真实概率。所以条件概率可以理解成下面的式子：这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"然后加入实验结果看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"由此得到更接近事实的"后验概率"。在这里如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1意味着"先验概率"被增强事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1意味着"先验概率"被削弱事件A的可能性变小。五、【例子】水果糖问题为了加深对贝叶斯推断的理解我们看两个例子。第一个例子。两个一模一样的碗一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗从中摸出一颗糖发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？我们假定H1表示一号碗H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的所以P(H1)=P(H2)也就是说在取出水果糖之前这两个碗被选中的概率相同。因此P(H1)=0.5我们把这个概率就叫做"先验概率"即没有做实验之前来自一号碗的概率是0.5。再假定E表示水果糖所以问题就变成了在已知E的情况下来自一号碗的概率有多大即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"即在E事件发生之后对P(H1)的修正。根据条件概率公式得到已知P(H1)等于0.5P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率等于0.75那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式所以将数字代入原方程得到这表明来自一号碗的概率是0.6。也就是说取出水果糖之后H1事件的可能性得到了增强。六、【例子】