时频分析与连续小波变换.pptx

会计学时频联姻(TimeMeetsFrequency)一、傅里叶分析回顾傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。
它是一个全局的分析。
它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。
傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号
变换公式:CFS:连续时间傅里叶级数
适用信号:连续时间周期信号
变换公式:
DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号
变换公式:DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号
变换公式:四种傅里叶变换的关系:信号时域和频域特性之间关系：本课程中傅里叶变换的记号:连续时间傅里叶变换性质从频率分析角度看：
傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。
从信号奇异性分析角度看:
傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：
不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。
傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。
傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：1965年库利和图基提出FFT算法
FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS的一种快速算法.
FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用.二、联合时频分析1946年,DennisGabor(1971年Nobel奖获得者):
“迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的经历－特别是我们的听觉－却一直是用时间和频率来描述的。”为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。
短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子
不同时频原子具有不同的时频特性。时频原子时频原子基本概念线性时频变换线性时频变换的时频局部化
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根据(1)式,则仅与信号f(t)在该邻域的值有关。
如果时频原子在频率上是集中于某个频率点周围,根据(2)式,则仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。

如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。
问题:上述时频原子存在否?
时频原子的分辨率受如下两个结论限制:
Heisenberg测不准原理
不存在同时具有时限和频限的时频原子
设

Heisenberg-box示例：

有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题：
根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2；
在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域。

Heisenberg测不准原理结论

/时频不可能同时有限长
尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在
某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是
不成立的。定理:时频不能同时有限长时频能量密度连续STFT
定义
短时傅里叶原子的时频结构
常用信号的连续STFT
连续STFT的反变换
连续STFT的性质
能量守恒定理
再生核方程
短时谱
连续STFT
/短时谱短时傅里叶原子的时频结构:
(为简化起见，设g(t)为实偶信号)：短时傅里叶原子的时频结构图示：常用信号的短时傅里叶变换
正弦信号

正弦信号短时谱对应的时频区域单位冲激信号线性调频信号STFT反变换-完备性
如果f(t)是能量有限信号，则：
/STFT性质
稳定性：
Parseval定理

STFT的冗余性:重建核方程

上面的性质表明:并不是所有的能量有限的二维信号都是某个一维能量有限信号的短时傅里叶变换!模糊函数与重建核
模糊函数定义

模糊函数沿时间轴和频率轴的衰减性可以定义信号的时频结构-比Heisenbergbox更精确
模糊函数在雷达信号设计中具有重要用途

重建核和模糊函数的关系离散短时傅里叶变换连续小波变换连续小波变换的定义：(2)尺度因子s的作用是对母小波做伸缩，选择不同的s会改变波形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子s越大，波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。
/(4)小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小