强Raney偏序集与HC-偏序集的若干性质的任务书.docx

强Raney偏序集与HC-偏序集的若干性质的任务书
一、基本概念
偏序集是指一个集合P上的二元关系≤，它满足自反性、反对称性和传递性。也就是说，对于任意a，b，c∈P，如果a≤a，a≤b且b≤a，则a=b；如果a≤b且b≤a，则a=b；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
Raney偏序集是指一个非空的有限偏序集，并且具有如下性质：
1.对于P中的任意无关系的元素a，b和c，如果a<b<c，则存在一个元素x，使b<x<c，但a≰x。
2.P中的每个元素都可以分解为不同的最小元素的交。
偏序集P中的一个元素a被称为最小元素，当且仅当它与P中的所有其他元素不相关。
二、强Raney偏序集
强Raney偏序集相对于Raney偏序集的定义，增加了最下元素的限制。具体来说，对于一个强Raney偏序集P，它必须满足以下两个条件：
1.P是一个Raney偏序集，并且
2.P中有一个包含所有最小元素的极小子集P'。
强Raney偏序集具有如下的性质：
1.当P不为空时，P中存在最小元素。
2.如果L和R是P中的两个Raney区间，则L和R具有相同的长度。（这个引理被称为Raney引理）
3.P的任何不同的Raney区间有相同的长度。
4.P中的每个元素都是某个Raney区间的上界和下界。
三、HC-偏序集
HC-偏序集是关于最小元素和最大元素有限制的偏序集。对于一个有限主链偏序集，如果它满足以下两个条件，那么它被称为HC-偏序集：
1.存在且仅存在一个最小元素u和一个最大元素v，其中u<v。
2.对于P中的任意元素x，如果u≤x≤v，则P中的其他元素比x的子集在偏序关系下构成一个有限线性链。也就是说，这个偏序集被u和v划分成了一个“上部分”和一个“下部分”，上部分中的元素可以比较，下部分中的元素也可以比较，但上部分和下部分中的元素不可比较。
HC-偏序集的性质：
1.当P不为空时，P中存在最小元素和最大元素。
2.对于P中的任意元素x，x=u或v或x∈L或x∈R，其中L和R是表示由u和v分割的偏序集P的最大左边和最大右边的连续区间。
3.如果x，y∈L或者x，y∈R，那么x和y是可比较的。
4.如果x∈L且y∈R，那么x和y是不可比较的。
四、HC-偏序集与强Raney偏序集的联系
HC偏序集和强Raney偏序集本质上是不同的概念。但是，HC偏序集和强Raney偏序集之间有些联系。任何一个强Raney偏序集都是一个HC偏序集，但是反之则不成立。
证明：假设P是一个强Raney偏序集，则P是一个Raney偏序集，并且P中存在一个包含所有最小元素的极小子集P'。
由Raney引理，任意两个Raney区间具有相同的长度。不妨设Raney区间的长度为r。然后，P被u和v划分为两个部分：下部分S和上部分T。其中，S是u到所有的最小元素之间的Raney区间的并集，T构成由最小元素以外的元素和v之间的所有Raney区间。由Raney引理，S和T具有相同的长度r。
任意两个在S中的元素都是可比较的，在T中也是如此。然而，在S和T之间的元素是不可比较的。这部分元素构成一个强Raney偏序集P’，它不能被分解为任何更小的Raney区间。因此，S和T本身就是最小的Raney区间，它们都是HC偏序集。因此，P也是一个HC偏序集。
反之，对于任意一个HC偏序集，它不能保证P中的所有Raney区间有相同的长度。因此，HC偏序集和强Raney偏序集并不等价，强Raney偏序集是一种更严格的限制。