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浅谈导数在数学中的应用

高海强
（重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2008级一班）

摘要导数是近代数学的重要基础.它是联系初.高等数学的纽带.本文主要针对导数的运用进行了阐述.微积分是大学数学的主要内容，微分学则是微积分中的基本概念之一，所以学习导数并熟练掌握导数的应用非常重要.导数的应用范围很广泛.它涉及了物理学.工程技术.经济学等领域.
关键词导数微分函数

1导数的定义
从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）.从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题.

2证明不等式彰显导数方法的灵活性
把证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0再求f(x)的最值，实现不等式证明.导数应用为解决此类问题开辟了新的道路.使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法.从而显示出导数方法运用的灵活性，普适性.
例1证明：，有不等式
证明：分别证明这俩个不等式
左端不等式设
，有从而，函数在严格增加，且在连续，又.于是，，有，
即，有
右端不等式设
有，.从而，函数在严格增加，且在连续，又.
于是，，有，即有
.
综上所证，，有不等式.

3以导数知识为工具研究函数单调性
对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单.程序化的方法.具有普遍的可操作方法.
定理1设函数在区间可导.函数区间单调增加（单调减少）有,有.
证明只给出单调增加情况的证明，同法可证单调减少的情况.
必要性，取.已知函数在区间单调增加.
当时，有
或当时，有
或从而，.已知函数在可导，则有，
.
充分性，且.函数在区间满足微分中值定理的条件，
有已知，有
或，即函数在区间单调增加.
例2讨论函数的严格单调性.
解函数的定义域是.
.令，其根是，它将定义域分成两个区间
与.作表如下：
+-↗↘函数不等式是表示函数之间的大小关系.应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式.

4利用导数求切线“在”“过”
求曲线的切线是导数的重要功能之一，但容易出现疏漏，尤其在求曲线的问题中的“在”于“过”更易出错.
例3过点作曲线的两条切线与，设的夹角为，则
解由得，.设为切点.则在点的切线方程为
：
或

从中可发现斜率为的切线并不以点为切点，而是经过点且以点为切点的直线.这说明“过”曲线上一点的切线，点未必是切点.
对于利用导数解决切线“过”与“在”的问题可归纳以下几点：
曲线在某点处的切线若有则只有一条.
曲线过某点的切线往往不只一条.
切线与曲线的公共点不一定只有一个.
解决问题关键是设切点，利用导数切斜率.而很多人没有意识到以上问题导致漏解.

5利用导数求函数极（最）值
费马定理指出：若函数在可导，且是函数的极值点，则，即可导函数的极值点必是方程的根.
定理2若函数在可导，
且有则是函数的极大点（极小点），
是极大值（极小值）
证明只给出极大点情况的证明，则极小点易证.
已知是的稳定点，且，有，从而函数在，严格增加，即，有.
，有，从而函数在严格减少，即，有.于是，有
是函数的极大点，是极大值.
定理3若函数在存在阶导数，且，
1）是奇数，则不是函数的极值点；
2）是偶数，则是函数的极值点；
当时，是函数的极小点，是极小值；
当时，是函数的极大点，是极大值.
例4讨论函数的极值.
解.令，解得一个稳定点.

于是，稳定点是函数的极小点，极小值是.

参考文献：

1刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德薪，刘宁.数学分析讲义（M）（第四版）上册.北京：高等教育出版社.2002
2刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德薪，刘宁.数学分析讲义（M）（第五版）下册.北京：高等教育出版社.2008
3浅谈导数在数学中的应用（A）,王雪佳,哈尔滨学院