9.5空间向量及其运算.docx

空间向量及其运算

1.(2020届河南郑州月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则实数k的值是().

A.1 B.15 C.35 D.75
【解析】易知ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).
因为ka+b与2a-b互相垂直,
所以(ka+b)·(2a-b)=(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,解得k=75.
【答案】D
2.(2020届安徽黄山月考)已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为().
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】由已知得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC|=332×2=12,所以向量AB与AC的夹角为60°.
【答案】C
3.(2020届山东济南月考)O为空间任意一点,若OP=34OA+18OB+18OC,则A,B,C,P四点().
A.一定不共面 B.一定共面
C.不一定共面 D.无法判断
【解析】因为OP=34OA+18OB+18OC,且34+18+18=1,所以P,A,B,C四点共面.
【答案】B
4.(2020届安徽六安期末)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是().
A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}
【解析】若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a,b,c为共面向量,与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.
【答案】C
5.(2020届河北邯郸月考)与向量a=(-1,-2,2)共线的单位向量是().
A.-13,-23,23和13,23,-23
B.-13,-23,23
C.13,23,-23
D.-13,-23,23或13,23,-23
【解析】因为与向量a共线的单位向量是±a|a|,又因为向量(-1,-2,2)的模为(-1)2+(-2)2+22=3,所以与向量(-1,-2,2)共线的单位向量是±13(-1,-2,2),故选A.
【答案】A
6.(2020届湖北襄阳月考)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则().
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确
【解析】因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以n1与n2不垂直,又n1,n2不共线,所以α与β相交但不垂直.故选C.
【答案】C
7.(2020届陕西咸阳期中)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是().
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),所以|AB|=32+42+82=89,|AC|=52+12+72=75,|BC|=22+32+12=14,所以|AC|2+|BC|2=75+14=89=|AB|2.所以△ABC为直角三角形.故选C.
【答案】C
8.(2020届河北石家庄模拟)已知空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().
A.12a-23b+12c B.-23a+12b+12c
C.12a+12b-12c D.23a+23b-12c
【解析】

如图所示,MN=MA+AB+BN
=13OA+(OB-OA)+12BC
=OB-23OA+12(OC-OB)
=-23OA+12OB+12OC
=-23a+12b+12c,故选B.
【答案】B
9.

(本题为多项选择题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是().
A.A1D·AB1=a2
B.A1D·BC1=0
C.存在实数λ,使得A1D=λBD1
D.BD1=BA+2BC-A1D
【解析】

如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz.
则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),B(a,a,0),D1(0,0,a).
A1D·AB1=(-a,0,-a)·(0,a,a)=-a2,故A错误;
A1D·BC1=(-a,0,-a)·(-a,0,a)=a2-a2=0,故B正确;
∵A1D·BD1=(-a,0,-a)·(-a,-a,a)=a2-a2=0,∴直线A1D与BD1垂直,不平行,故C错误;