1高等代数绪论.ppt

高等代数汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届“教学名师”。二、代数发展简史1.高等代数是数学系各专业的一门重要必修课，高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程以及有关选修课程的基础。数学大厦的基石--代数结构:集合上研究代数运算----如:集合R上的加,减,乘,除运算→高等代数,近世代数等;
序结构:集合上的顺序关系,----如:数的大小,个子的高矮等→序代数,格论等;
拓扑结构:集合上连续性等----如:曲线与直线的关系→数学分析,点集拓扑,代数拓扑等

三大结构的相互重叠,组合构成各个不同的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范畴；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。2.设置本课程的目的：

开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的概念，理论和方法，同时还对学生进行的“三个基本”训练和“一个初步”训练，即：代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、代数学基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。

学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的学习，研究和应用具有重要的作用。“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是“ilmal-jabrwa’lmuquabalah”，直译为《还原与对消的科学》．al-jabr意为“还原”或“移项”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muquabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。阿尔•花拉子米的《代数学》也可以看成是“方程的科学”。1859年，我国数学家李善兰（1811～1882）首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。古希腊数学家丢番图（Diophantus:约公元246-330年,）用文字缩写来表示未知量，在三世纪中叶丢番图写了一本数学巨著《算术》。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。故有“代数学之父”的称号。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的高次方程。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组（线性方程组）的同时，还研究次数更高的一元方程。发展到这个阶段，就叫做高等代数。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。

关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——Cardan公式。后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(GerolamoCardano1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，在《大术》(ArsMagna)(1545)中公开发表，就是通常所说的解三次方程的“Cardan公式”。塔塔里亚发现的一元三次方程的解法由p=-3ab可知27a6+27qa3+p3=0
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被Cardano的助手意大利的费拉里(LudovicoFerarri，1522–1565)在1540年给出，而由Cardano在《大术》(ArsMagna)(1545)中公开发表。费拉里发现的一元四次方程的解法很自然的,数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。从十六世纪中叶到十九世纪初，这个问题耗费了许多数学家的时间和精力，当时一些最杰出的数学家（例如Euler和Lagrange）曾做过一些尝试，但一直都没有被解决。Lagrange所做的大大地超过了其他所谓的五次方程的解答者，他给出了三次和四次方程存在根式解的原因，是这些方程的求解能简化为解较低次的“预解”方程。另一方面，他发现同样的方