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采样定理与稀疏信号的稳定重构的开题报告
一、研究背景和意义
随着计算机科学与技术的发展，尤其是数字信号处理技术的飞速发展，大数据的处理愈来愈被人们所重视，如何快速高效地获取和处理大量的数据愈发受到重视。传统的采样技术已经不能再满足现代数字信号处理的需求，因此新型的采样理论被提了出来。
采样定理是指在保证信号不会发生混叠的前提下，对信号进行的离散化采样，并根据采样得到的离散数值来恢复出原始模拟信号的理论。1950年，Wiener提出了香农—奈奎斯特采样定理（Nyquist-ShannonSamplingTheorem）,并被证明是信号采样理论的基本定理。然而该定理所需要的采样频率是极高的，即采样定理要求采样频率至少是信号带宽的两倍，实践中很难满足。由此创立了硬件上采样率小于信号带宽的a-采样定理（Feichtinger,2003）和
非平稳信号的b-采样定理（EasleyandLabate,2008）。这些理论的出现提高了信号采样的效率，但也在一定程度上增加了信号处理中的计算量。
信号的稀疏性是指在某种表示方法下，信号系数的绝大部分为0或非常接近0的现象。信号的稀疏性本身是一种模式，并在实际应用中得到广泛应用。电视、音频、图像、视频等信号均具有一定的稀疏性质，这往往是因为这些信号在某种已知的基函数下，能够通过少量非零系数就可近似表示。稀疏信号处理是一种基于信号稀疏性的信号处理方法，能够提高信号处理的效率并保证信号重构的精度。
因此，对采样定理与稀疏信号重构算法的研究与应用，对于更高效的信号处理与信息传输具有重要的意义。
二、研究内容
本文将分析和研究采样定理及其衍生出的新型采样理论，探讨不同采样定理与稀疏信号处理方法对信号重构的质量、效率以及所需存储空间的差异，最终建立一套性能最优的信号处理与重构算法。
1.香农-奈奎斯特采样定理原理的介绍，及在数字信号处理中的应用
1.1香农-奈奎斯特采样定理的原理
1.2香农-奈奎斯特采样定理的应用
2.不平稳信号采样的理论介绍及相关重构算法的研究
2.1硬件采样率小于信号带宽的a采样定理的原理介绍
2.2非平稳信号的b-采样定理原理介绍及重构算法的研究
3.稀疏信号的理论基础及其重构算法的研究
3.1稀疏信号与压缩感知的概念
3.2稀疏表示的基本原理
3.3采用基于稀疏表示和压缩感知理论的信号重构算法
4.结合不同采样定理和稀疏信号处理算法的重构算法效果评估
4.1定义评估指标
4.2选择实验样本，比较并分析不同算法的优缺点
4.3模拟实验结果分析
三、研究意义
本文将采用结合理论与实践相结合的方式，综合比较不同采样定理以及不同的稀疏信号处理算法在重构信号方面的表现，从而建立一套性能优良的信号处理与重构算法。本文的研究结果具有以下意义：
1.为智能化、高精度信号处理提供理论与算法基础；
2.优化不同采样定理的效果和应对实际应用的需求，提高采样数据的获取效率以及信号恢复的质量；
3.将信号处理的精度、速度和存储空间等重要指标进行优化，为实时处理及真正意义上的“大数据”处理打下基础。
四、参考文献
Easley,G.R.,&Labate,D.(2008).Sparsesamplinginsignalandimageprocessing.SignalsandCommunicationTechnology.Springer,Boston,MA.
Feichtinger,H.-G.(2003).Banachspacetechniquesinsamplingandintomography.InHandbookofmathematicalmethodsinimaging(pp.769–846).Springer.
Shannon,C.E.(1949).CommunicationinthePresenceofNoise.ProceedingsoftheIRE,37(1),10–21.
Tropp,J.A.(2010).Greedisgood:Algorithmicresultsforsparseapproximation.IEEETransactionsonInformationTheory,55(5),2230–2249.