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三角函数型Shearlet构造及图像处理的中期报告
一、研究背景
Shearlet理论是近年来图像处理领域中的一大热点，因其在分析处理微小尺度信息方面具有明显优势，已经广泛应用于医学影像处理、光学成像、图像分割及压缩、信号处理等领域，成为了很多图像处理领域中的重要工具。在Shearlet理论中，Shearlet可以看作是带有不同方向、长度、位置和尺度的局部小波函数组成的一种多尺度分析基。因此，假如能够进一步扩展Shearlet的构造，使得其可以自适应地拟合非线性信号或在更广泛的情形下更好地适用，就必将对Shearlet理论的探讨和发展带来深刻的影响。
二、研究现状
针对Shearlet构造的研究已经是一个相对成熟的领域，已经有很多Shearlet的构造方式以及在不同应用领域中的应用。如Mallat和Zhang等学者提出的数值Shearlet，该方法将局部小波和划分的方法相结合，从而扩展了单纯小波的构造方案。为了处理具有更广泛的尺度和形状的特征，Beylkin等学者提出了连续Shearlet构造，该方法不仅扩充了传统Shearlet的构造，还能够生成参数化的Shearlet基，这对信号的分析和处理提供了更多选择。
然而，传统的Shearlet基本是由三角函数线性组合而成，其受限于基函数的线性性质，往往不能够自适应地拟合非线性信号，对一些与奇异函数相关的问题处理效果不佳。因此，在不失去Shearlet构造失去多尺度分析的优势，提高Shearlet构造的非线性拟合能力和自适应性是很多学者正在研究的领域。
三、研究内容
基于上述问题，本研究提出了一种三角函数型Shearlet构造方案，该方案基于前人的基础上进行了改进，并新增了一组非线性基函数，从而提高了其自适应性和非线性拟合能力。方案具有以下几个步骤：
Step1.采用带权的平移、剪切和缩放操作将三角函数的一组组生成函数变换为Shearlet分解下的小波。
Step2.对于每个操作，由于其可以看做是对原始函数进行剪切、拉伸或者旋转操作，因此，我们可以在每个操作下新增一组由非线性基函数（如指数函数、对数函数等）生成的基函数，得到新的非线性Shearlet基。
Step3.将所有的非线性Shearlet基按照尺度和方向进行排序，并进行正交化处理，得到正交化后的非线性Shearlet基组。
Step4.通过实验验证比较，选取合适的非线性Shearlet基组和线性的Shearlet基组的组合来对一幅图像进行分解。
四、预期结果
本研究将通过对不同图像进行分解和重构实验，对比传统Shearlet基组和本研究提出的非线性Shearlet基组在处理各种类型图像时的效果。预计通过实验结果，验证本研究提出的基组可以更好地适应各种类型的图像，有助于提高Shearlet在图像处理领域的应用。