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若干非线性偏微分方程动态系统降维问题的研究的中期报告
非线性偏微分方程（PDEs）在自然界和工程领域中扮演着重要的角色，涉及的领域包括流体力学、量子力学、统计物理学等。由于其复杂性，PDEs通常难以被求解或分析解，因此需要用数值方法来求解。然而，当计算维度很高时，数值方法的计算成本往往很高，这限制了PDEs的计算能力。
因此，降维是解决PDEs计算成本高的关键技术之一。降维的目的是减少问题的自由度并保留系统的关键特征，从而使计算成本降低。降维技术包括基函数展开、流形学习和深度学习等方法。其中，基函数展开法是一种简单有效的方法，通过选择适当的基函数，把高维问题映射到低维空间中。流形学习则专注于保留数据流形的结构，并通过非线性映射将高维数据映射到低维空间中。最近几年，深度学习技术发展迅速，对于高维数据的降维也提供了新的思路和工具。
本文首先介绍了常见的降维技术和其原理，然后介绍了PDEs降维的研究现状和难点，最后介绍了我们的研究进展。我们的研究主要聚焦于流体力学中的一些重要PDEs，包括纳维-斯托克斯方程、泊松-泊松-尼曼方程等。我们采用基函数展开法，通过选择适当的基函数，将高维流场问题映射到低维空间中，并保留系统的关键特征。我们同时采用深度学习的方法进行降维，并比较两种方法的性能。目前，我们已经完成的工作包括：
1.设计和实现高维流场基函数库，包括多项式基、Fourier基、小波基等，用于将高维流场问题降维。
2.针对纳维-斯托克斯方程，采用基函数展开法将高维问题降维到低维空间中，并保留了流场的主要特征。此外，我们还通过比较数值模拟和实验数据的结果，验证了方法的准确性和可行性。
3.我们尝试使用深度变分自编码器（VAE）实现流场的降维。VAE是一种流行的深度学习技术，用于生成低维表示和高维数据的重构。我们的初步结果表明，VAE方法在减少维数方面具有良好的性能，但在保留流场的主要特征方面还有待进一步改进。
未来，我们将继续探索更有效的PDEs降维技术，并探索其在其他领域的应用。