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微积分在处理物理问题中的应用摘要物理是一门研究物质基本结构、相互作用和物质的最基本的运动规律的科学。在实际运用中物理面对复杂的问题解决起来有难度通过运用微积分的方法解决物理问题是大学物理的核心思想。微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分最重要的思想就是用微元法和无限逼近将不断变化的事物通过微元法分割、近似、求和、取极限在够小的一段微元内把变量当作常量处理问题就迎刃而解了。本文从质点运动学、动量定理和能量守恒定律、恒定磁场、电磁感应和电磁场等章节通过运用微积分解决物理问题以及运用微积分推导物理公式进一步巩固微积分知识及更深层了解物理定理。关键字：物理微积分解决物理问题目录第1章引言11.1选题背景11.2研究目标和意义11.3研究思路1第2章质点运动学22.1微积分解决质点速度的问题2第3章动量守恒和能量守恒定理33.1微积分解答有关动能定理的问题3第4章静电场44.1静电场中的高斯定理44.2微积分解答有关库伦定理的物理体5第5章恒定磁场75.1磁场中的高斯定理与安培环路定理75.2微元法解决磁场中的问题8第6章电磁感应和电磁场95.3利用微积分方法证明电荷守恒定律10参考文献11引言选题背景物理是处理实际生活中的问题的应用科学但是中学物理公式却不具备一般性如W=F*S此公式仅仅满足F与S处于同一方向的特殊情况时W的计算。大学物理中利用微积分将物理问题一般化更能体现物理处理问题的一般性。分割、近似、求和、取极限微元法在物理中的应用使问题不再让人无从下手。研究目标和意义研究微积分在处理物理问题中的应用的目标是：通过用微积分解答物理问题巩固微积分知识。研究微积分在处理物理问题中的应用的意义是：更深层次的理解物理公式的推导。研究思路研究部分物理公式的推导及物理问题的解答质点运动学微积分解决质点速度的问题例：A、B两个物体由一个为l的刚性细杆相连A、B两物体可在光滑的轨道上滑行如物体A以恒定速率V向左运动当阿尔法为60度时物体B的速度是多少？BαA解：VB=drb/dt=dy/dt*jX2+y2=l22xdx/dt+2ydy/dt=0dy/dt=x/y*dx/dtVA=r(-i)=drA/dt=dx/dt*idx/dt=-vdy/dt=v*tanα该题的运动过程中夹角与速度在不断地变化要求某一点的速度的确有点难度。但运用微积分的思想取够短的一段时间dt在这段时间内速度和夹角都是一定的再利用初等数学知识就能直接进行计算了。动量守恒和能量守恒定理微积分解答有关动能定理的问题例：一链条总长为l质量为m放在桌面上并使其下垂下垂长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦系数为μ令链条从静止开始运动则；到链条离开桌面的过程中摩擦力对链条做了多少功？链条离开桌面是的速率是多少？解：当链条离开桌面x~(x+dx)时摩擦力为F=μmg(l-x)/lWf==-=-μmg(l-a)2/(2l)因为v0=0所以Wp+Wf=1/2mv2从而Mg(l2-a2)/(2l)–μmg(l-a2)/(2l)=1/2mv2则v=√(g/l)[(l2-a2)-μ(l-a2)]1/2本题的第一问摩擦力做功因为整个过程是动态过程各个物理量都在变化用中学解题思想无从下手。同样使用微积分思想取足够短的一段运动路程内dx把这个过程中的各个物理量看作不变再利用积分就出整个过程的摩擦力f做的功W。静电场静电场中的高斯定理真空中的任何静电场中穿过任意闭合曲面的电通量在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以1/ε0。高斯定理是根据库伦定律证明的电场强度对仍以封闭曲面的通量正比与该封闭曲面内电荷的代数和得出。下面以点电荷为例讨论高斯定理：电荷位于球心取任意闭合曲面时：Q在曲面外：当存在多个电荷时n个在球面内m个在球面外:结论：E是所有电荷产生的e只与内部电荷有关。由此可见高斯定理其实就是微积分中的第二类曲面积分的应用。微积分解答有关库伦定理的物理体例：如图所示有一无限长均匀带电直线其电荷密度为+λ1另外在垂直于它的方向放置一根长为L的均匀带电线AB其线电荷密度为+λ2试求他们之间的相互作用力。+λ1aLA+λ2B解：由电场强度定义求解。电场直线L处于无限长带电直线产生的电场中若把带电直线L视作许多电荷元dq2的集合则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq2各电荷元的dF的矢量和即为带电直线L所受的电场力。如图所示在距无限长带电直线x处任取一电荷元dq2=λ2dx由无限长带电直线的场强公式可知dq2处的场强为：Ydyryλ1θOAλ2BaXxdxa+L方向沿x轴正向。于是有由于各电荷元所