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某些有限单群的刻画的中期报告
有限单群是指不含非平凡的正规子群的有限群。有限单群一直是群论研究中的重要课题，其刻画一直是群论领域的难题之一。目前已有一些进展，以下是某些有限单群的刻画的中期报告。
1.有限简单群的分类
在20世纪70年代，Gorenstein等人完成了有限简单群的分类工作，证明了只有有限个简单群存在。其中，有限单群包括了所有的非阿贝尔有限简单群，这些群被称为有限单群。这一分类是十分深刻和复杂的，涉及到几百篇论文，其中最著名的是Thompson的序列、Aschbacher的构造和分类标准以及Gorenstein等人的精细分析。
2.特殊线性群上的有限单群
特殊线性群SL(n,q)上的有限单群已经被完全刻画。这些群一般记作PSL(n,q)，其中，q是奇质数的幂。这些群在大量应用中都有着重要的地位，例如在有限域上的代数几何、编码理论、密码学和组设计等领域。
3.交换型有限单群的刻画
根据Feit-Thompson定理，所有的奇序有限单群都是非交换的。因此，仅需考虑偶序有限单群。其中，交换型有限单群十分特殊，并且在应用中具有很重要的地位。过去几十年来，针对交换型有限单群的研究得到了很大发展。特别是L∞(p)型有限交换单群的刻画得到了很大进展。其中，p是素数，L∞(p)是一组特殊形式的置换矩阵构成的交换子群。
4.外自同构的统一刻画
在有限单群的研究中，外自同构也是一个关键的问题。外自同构是指一个群同构于自身的某个子群中，但是这个子群不一定是这个群内部的子群。外自同构的研究在有限单群的研究中起到了至关重要的作用。目前已经发展了各种技术，用来统一刻画有限单群的外自同构。这些技术包括Kazhdan-Lusztig预言式、几何方法和编码理论等。这些方法不仅展现了有限单群内在的结构美，而且在各种应用中都具有十分广泛的应用价值。