均值不等式中等号的合理运用 专题辅导 不分版本 试题.doc

均值不等式中等号的合理运用专题辅导

杨社华
在《不等式》一章中，均值不等式是一项重要内容，也是高考的热点。教材中明确指出，如果a、b是正数，那么（当且仅当时取等号），但是同学们在做题过程中往往理解不够而误用，就此问题，笔者略举几例：
例1.若x、y为正实数，满足，求的最小值。
错解：由得：
又，则的最小值是32。
分析：看似合乎情理，但仔细分析，两次运用均值不等式，等号能同时取得吗？显然不可以，因此，取不到32。
正解：

当且仅当，即及时等号成立。
例2.已知m、n、x、y为实数，满足，且，求的最大值。
错解：

故的最大值为
分析：在上述求解过程中，等号成立的条件是，而题目中，故运用有误。
正解：当且时，可得
又，相加可得：
，即
则
此结论当或时仍成立，故的最大值为。

例3.已知，求的最小值。
错解：
当且仅当，即时等号成立。
故y的最小值为2。
分析：忽略了与这两个数的乘积不是定值，所以这样得到的2不是最小值，应通过合理配凑使其乘积为定值。
正解：因为
当且仅当，即时等号成立。
则的最小值为

练习：
已知a、b、c是正实数，且，求的最大值。
提示：利用