最值问题（ 钱云赞）.doc

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最值问题
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一、点击高考
最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。
回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。
由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。
可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。
二、考点回顾:
分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种：
1、函数的最值；
2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等；
3、字母的取值范围；
4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如：
f(x)≥0对x∈R恒成立f(x)的最小值≥0成立，
f(x)≤0对x∈R恒成立f(x)的最大值≤0成立；
5、实际应用问题：
实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。
三、知识概要
1、求函数最值的方法：
“数”和“形”，数形结合：
配方法
直接法均值不等式法
单调性
代数方法导数法
判别式法
间接法
有界性
函数的图像
平面几何知识
几何方法线性规划
解析几何斜率
两点间距离
2、求几类重要函数的最值方法；
（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；
（2）:均值不等式法和单调性加以选择；
（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型：
能直接判断
线性规划
建立目标函数
曲函数的最值
四、典型例题分析
函数的最值
例1(2002·全国卷·理·21)设a为实数，，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
【考查目的】
本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。
【例题详解】
(1)解法一：常规思路：利用定义。
＋，

若
都不成立，故不是奇函数；
若为偶函数，则，即＋此等式对恒成立，只能是.
故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数。
解法二：从特殊考虑：

又，故不可能是奇函数。
若，则，为偶函数；
若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数。
（2）当时，，由二次函数图象及其性质知：
若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且。
当时，函数。
若，函数在上的最小值为，且；
若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为。
综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是。
【特别提示】
1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。
2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。
3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。
例2、已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。
【考察目的】
本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。
【例题详解】
（1）当时，。
，
。
在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
（2）在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
函数在区间上的最小值为3

即
【特别提示】
1．第（1）题中，这类函数，若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。
2．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。
例3、设P为圆+=1上的动点，则点P到直线的距离的最小值为＿＿＿＿。
【考查目的】
本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题，考查数形结合这一重要数学思想方法。
【例题详解】
解法一：设点P，则点P到直线的距