1．3．1二项式定理.doc

1．3．1二项式定理
教学目标：
知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
课时安排：3课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．
教学过程：
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，
∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、讲解范例：
例1．展开．
解一：．
解二：
．
例2．展开．
解：
．
例3．求的展开式中的倒数第项
解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，
．
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例5．（1）求的展开式常数项；
（2）求的展开式的中间两项
解：∵，
∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；
（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，
，
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例7．求的展开式中的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
（法二）：

∴展开式中含的项的系数是．
例8．已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解
解：展开式中含的项为

∴，即，
展开式中含的项的系数为
，
∵，∴，
∴
，∴当时，取最小值，但，
∴时，即项的系数最小，最小值为，此时．
例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意：，即，∴舍去）
∴
①若是常数项，则，即，
∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若是有理项，当且仅当为整数，
∴，∴，
即展开式中有三项有理项，分别是：，，
例10．求的近似值，使误差小于．
解：，
展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
∴，
一般地当较小时
四、课堂练习：
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数，第4