第8讲学案.doc

沙城中学补习班数学第一轮复习教案编录：刘世亮
第65讲：多面体和球
主要知识及主要方法：
1.每个面都是，每个顶点为端点的凸多面体，叫做正多面体.
2.正多面体有且只有种.分别是.
3.简单多面体：叫做简单多面体.
4..球的概念：叫做球体，简称球定点叫球心，叫做球面.
5.球的性质：
（1）平面截球所得的截面是.叫做大圆，叫做小圆。
（2）球心和球面圆心的连线截面；
（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系：
（4）地球上的径度是个，纬度是个。
6.两点的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离.
基础
自测

7.球的表面积和体积公式：，.
1.正方体的全面积为24，球O与正方体的各棱均相切，球O的体积是 （）
A. B. C. D.
2.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，
B与D两点之间的球面距离为 （）A. B. C. D.
3.球面上有三点，任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这三个点的小圆周长为，那么这个球的半径为（B）
A. B. C.2 D.
4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.
典例剖析
已知在多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，
平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积为 （）
A.2 B.4 C.6 D.8
例2①已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于，球的表面积等于.
②设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B—OA—C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（）
A. B. C. D.
例3①P、Q为斜三棱柱相对棱上的点，若AQ=PC1，则多面体B—ACPQ的体积是三棱柱体积的 （）
A. B. C. D.
②设是球面上的四个点，且共面，AB=BC=CD=DA=3，球心到该面距离是球半径的一半，则球的体积是（）
A. B. C. D.
③长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A. B. C. D.
④长方体ABCD—A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB∶AD∶AA1=1∶1∶，A、B两点的球面距离记为m，A、D1两点的球面距离记为n，则的值为.
例4已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（1）证明：PC⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求△ABC的边长.

例4如图，三个12×12cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.E
D
C

例5已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?