第8讲.doc

第8讲§1.2.2空间两条直线的位置关系（二）¤学习目标：1．理解异面直线所成角的概念．会运用转化的思想将异面直线所成的角转化为求平面内的角的问题；2．会用反证法证明两条直线是异面直线．¤知识讲解：．1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的直线叫做异面直线．其常见的画法如下所示：2．异面直线的判定方法：（1）定义法即不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线常借助于发证法来证明；（2）判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．ABCDEFMN3．异面直线所成角的定义：如图ab是两条异面直线经过空间任意一点O作直线a'∥ab'∥b我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线ab所成的角．（1）异面直线所成角的定义给出了寻找异面直线所成角的方法；（2）点O的选取与异面直线所成角的大小无关因此点O常取在两异面直线的一条上特别是这一直线的某些特殊点上例如“端点”或“中点”处；（3）异面直线所成角的定义体现了空间问题向平面问题的转化即将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成角等角定理为此提供了理论依据；（4）寻找异面直线所成角涉及到过空间一点如何引平行线的问题由平面基本性质中公理3的推论1知：经过一条直线及直线外一点有且只有一个平面因此经过直线a与空间不在a上的一点O可确定一个平面在平面内过点O作a'∥a则a'就是过点O与a平行的直线即先找一个辅助面在作（或找）与a平行的直线a'；（5）当异面直线ab所成的角为时称异面直线ab垂直记为因此空间两直线垂直包括了“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．¤例题精讲：【例1】如图是一个正方体的平面展开图在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直．以上四个命题中正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④ABCDEFGH解：选C．【例2】如图EF在AD上GH在BC上图中8条线段所在的直线哪些直线互为异面直线？解：先找规律性较强的直线．如AB与CDAC与BDAD与BC互为异面直线然后再把EG添入那么易得EG分别与ABACBDDC成异面直线．同理FH与它们分别成异面直线EG与FH也互为异面直线．每两条异面直线称为“一对”则共有12对异面直线．解题回顾：在判断两条直线为异面直线时常根据“过平面外一点与平面内的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”来判断这个结论也可作为异面直线的判定定理．ABCDEFA1B1C1D1【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中AA1=aEF分别是棱BCDC的中点求异面直线AD1和EF所成角的大小．解：如图取CC1的中点G连结EGFGBC1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中∴四边形ABC1D1是平行四边形∴AD1∥BC1．在△BCC1中EG分别是BCCC1的中点∴EG∥BC1∴AD1∥EG∴∠GEF就是异面直线AD1和EF所成的角（或其补角）．在正方体中AA1=aEFG分别是棱BCDCCC1的中点∴EF=EG=FG即三角形EFG为等边三角形即∠GEF=60故异面直线AD1和EF所成的角为60解题回顾：由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移→构造三角形→解三角形→作答．在几何体中进行平移构造异面直线所成角时一般选择两异面直线中一条上的一点或几何体顶点、棱的中点等特殊点．