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Sobolev方程的扩展混合有限元方法和扩展混合体积元方法的综述报告
Sobolev方程是一个常见的偏微分方程，它描述了一些复杂物理问题的行为。为了解决Sobolev方程，研究人员已经开发了许多不同的数值方法。其中两种最常用的方法是扩展混合有限元方法和扩展混合体积元方法。本文将对这两种方法进行综述。
扩展混合有限元方法（ExtendedMixedFiniteElementMethod，EMFEM）是一种经典的有限元方法。EMFEM将原始方程分成两个部分，一个压力部分和一个速度部分。通过对两个部分使用不同类型的元素，EMFEM可以克服其他有限元方法的一些问题，例如不连续场在节点处的误差和数值渗漏的问题。EMFEM的优点是在处理边界条件时非常灵活，可以轻松地引入广义的边界条件，以及对非凸域和多重物理场的建模。
EMFEM的一个重要特点是将压力和速度变量定义在不同的有限元空间中。因此，称它为“混合方法”。跨越两个有限元空间的相互作用是通过拉格朗日乘子来实现的。这意味着，EMFEM需要构建一个增广问题，并且要求求解器能够处理增广问题。EMFEM的缺点是其计算复杂性比其他有限元方法更高，并且对于动态问题也不适用。
相比之下，扩展混合体积元方法（ExtendedMixedHybridFiniteVolumeMethod，EMHFVM）则着重于在有限体积方法框架内解决Sobolev方程。EMHFVM在单元格内建立了一个局部变量，在局部变量上进行离散，然后构建插值和积分关系。这些关系可以用来表示计算区域各个部分的通量、压力和速度。由于EMHFVM是基于有限体积方法的，因此它适用于非结构化网格，并且可以很容易地处理复杂的物理问题。另一个重要的优点是其计算复杂度较低。这意味着它可以在大规模计算中使用。
与EMFEM不同，EMHFVM中的压力和速度都定义在相同的空间中。因此，EMHFVM不需要拉格朗日乘子，并且在边界上的条件相对简单。这是EMHFVM的优点之一。
总的来说，EMFEM和EMHFVM都是有效的方法，可用于解决Sobolev方程。选择使用哪种方法取决于问题的特定特征和计算资源。通过综合使用这两种方法可以有效地解决一些高维非线性偏微分方程问题。