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第一章勾股定理
参考例题
［例1］如下图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长.

分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.
解：过点C作CD⊥AB于点D
在Rt△ACD中，∠A=60°
∠ACD=90°－60°=30°
AD=AC=12(cm)
CD2=AC2－AD2=242－122=432，
DB=AB－AD=15－12=3.
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441
BC=21cm.
评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.
［例2］如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.
求B点到入射点的距离.
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.

解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点.
因为B′D=DB.
所以B′D=AC.
∠B′DO=∠OCA=90°，
∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO(SSS)
则OC=OD=AB=×6=3米.
连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2
所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).
所以点B到入射点的距离为5米.
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.

1.探索勾股定理（一）
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

测验评价等级：ABC，我对测验结果（满意、一般、不满意）
参考答案
（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,
S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC
=(3+4)2－4××3×4=72－24=25
即AB2=25，又AC=4，BC=3，
AC2+BC2=42+32=25
∴AB2=AC2+BC2
（2）如图（图见题干中图）
S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4××4×7=121－56=65=42+72
2.探索勾股定理（二）
下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？
②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？
③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

测验评价等级：ABC，我对测验结果（满意、一般、不满意）
参考答案
①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.
②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.
③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
2.探索勾股定理（二）
班级：________姓名：________
1.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m,CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________.

图1
2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积.
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