帮你梳理 《勾股定理》.doc

帮你梳理《勾股定理》
山东李其明
一、结构梳理

二、知识梳理
（一）探索勾股定理
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．
说明：（1）勾股定理揭示的是直角三角形三边平方关系的定理；
（2）勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形．
2．用拼图的方法探索验证勾股定理．
拼图1．（赵爽的《圆勾股方图》）如图1，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，它们的直角边长分别为a、b（a＞b），利用这个图形验证勾股定理（这是我国古代数学家赵爽的拼图），方法如下：
设大正方形的边长为c，面积为s，小正方形的边长为（a－b），
所以s=c2，，
所以a2+b2=c2．
拼图2．（茄非尔德总统拼图）
如图2，直角梯形中，上底为a，下底为b，高为（a+b），梯形中有三个直角三角形，其中两个小的直角三角形全等，方法如下：
设梯形面积为s，则，
．
3．熟练掌握勾股定理的各种表达形式
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2．
3．易错点剖析：
（1）没有把握好勾股定理适用范围，它只适用于直角三角形；
（2）没有弄清楚待求的直角三角形的第三边是斜边还是直角边．
如：已知直角三角形两边长分别为3、4，求第三边长．
分析：学生往往有定势思维：认为3、4、5是一组勾股数，有两边为3，4，则第三边必为斜边，因此第三边长为，而漏掉了．
4．勾股定理的应用
用勾股定理可以解决
（1）已知直角三角形的任两边，求第三边问题；
（2）验证线段的平方关系问题；
（3）作数轴上的、、，……等；
（4）解决实际问题．
（二）探索勾股定理的逆用
如果三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
注意：勾股定理与勾股定理的逆用的联系与区别．
联系：①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；
②两者都与三角形有关．
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“数量关系a2+b2=c2”；勾股定理的逆用是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”．
（三）探索产生勾股数的公式
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
可以验证：若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是勾股数．
以下几个公式都可以产生勾股数：
1．设n为正整数，且n＞1，令a=2n，b=n2+1，c=n2+1，则有a2+b2=c2；
2．设n为正整数，令a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，则有a2+b2=c2；
3．设m、n为正整数，且m＞n，令a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2则有a2+b2=c2；
4．设m、n、k为正整数，且m＞n，令a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2）则有a2+b2=c2．