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用心爱心专心

探究“投影”类中考题
浙江省绍兴市元培中学分部柴鉴红
“投影”是现行初中数学教材新增的一个知识点，也是近几年数学中考中的一个亮点，其解题的核心是抓住某一时刻物高与影长的变化规律，应用所学的有关数学知识进行解决.为帮助同学把握“投影”的实质，本文通过对近几年中考题的剖析，来探究“投影”类中考题的变化，并对其解题方法进行归类分析.
探究一：比例求高“投影”类题
图1
题型1（2006年成都市）如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为________米.
分析：本题的解题思路是把太阳光线看成平行光线，依据同一时刻物高与影长成正比，很容易求出小华所住楼房的高度为48米.
变化1－1如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：
图2
（2007年宁波市）如图2，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为()
(A)24m(B)22m(C)20m(D)18m
分析：本题的关键是仔细观察图形，理解铁塔的影子是由坡面DE与平地BD两部分组成.由题型1的经验得：
塔影落在坡面部分的塔高﹕塔影DE长＝小明的身高﹕小明的影长；
塔影落在平地部分的塔高﹕塔影BD长＝小华的身高﹕小华的影长.
设塔影留在坡面DE部分的塔高为h1、塔影留在平地BD部分的塔高为h2，则铁塔的高为h1+h2.
∵h1﹕18m＝1.6m﹕2mh2﹕6m＝1.6m﹕1m
∴h1＝14.4mh2＝9.6m∴塔高AB为24m.∴应选A.
变化1－2如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：
图3
（2008年绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）
(A)11.5米 (B)11.75米 (C)11.8米(D)12.25米
图4
分析：由题意画出图4，可知树的影长有三部分BE、DE和CD，延长CD交AB于F后，就将树的这三部分影长转化为两部分高BF和影长CF．因为由矩形的性质得，BE=DF=4.4m，BF=DE=0.3m，所以，图4
CF=4.4m+0.2m=4.6m，再利用高AF与影长CF的比1m﹕0.4m，求出AF=11.5m，最后求出树高AB=AF+BF=11.8m.因此应选C.
变化1－3如果将上题中的DE改为斜坡，再改变部分已知条件：
图5
（2006年梅州市）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图5，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m,DE=4m,BD=20m，DE与地面的夹角．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆的高度．（结果保留两个有效数字）
图6
分析：根据题意画出示意图6，对照上题，只要过点E作EH⊥BD，垂足为H，延长CE交AB于F，即可将问题转化成了上题的形式，求出旗杆
的高度约为8.4m.
探究二：三角函数求高“投影”类题
题型2（2007年福建龙岩）如图7，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为
m．（精确到0.01m）
图8
图7
分析：由已知条件构建Rt△ABC，如图8所示，则BC=1.16m,∠ACB=，由三角函数的定义得，AB=BCtan≈1.66m，
即玲玲的身高约为1.66m.
变化2－1如果将太阳光改为照明灯，再适当改变已知条件和问题的形式：
图9
（2007年南宁市）如图9所示，点P表示广场上的一盏照明灯．若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．
分析：解此题的突破点是如何将不规则的图形转化为规则的几何图形．先由已知条件在这个图形中构建矩形和直角三角形，过点Q作QE⊥MO于，过点P作PF⊥OB于F，交QE于点D，则PF⊥QE，如图10所示，这样将求照明灯P到地面的距离转化为求PD与DF的和．
图10
在Rt△PDQ中，
由于∠PQD=，DQ=EQ—ED=3m
∴PD=DQtan=3×t