八年级数学梯形冀教版知识精讲.doc

初二数学梯形冀教版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
梯形
1.了解梯形的意义及分类．
2.学会把梯形分割成熟悉的图形．
3.掌握等腰梯形的特征．

二、知识要点：
1.梯形的定义
（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（2）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
（3）两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

2.梯形的识别
（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
3.等腰梯形的性质
（1）等腰梯形同底上的两个内角相等．
（2）等腰梯形的对角线相等．
（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底边中点的直线，不是中心对称图形．
4.等腰梯形的识别
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．

三、重点难点：
重点是探究等腰梯形的特征及识别；难点是灵活把梯形分割成熟悉的图形，并借助熟悉的图形特征与识别来解决问题．

【典型例题】
例1.平行四边形是不是特殊的梯形？为什么？
分析：平行四边形的两组对边分别平行，而只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形才是梯形．
解：不是，因为一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，而平行四边形的两组对边分别平行．
评析：忽视“另一组对边不平行”这一条件是常犯的错误．

例2.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC延长线上的点，且CE＝AD，试判断△BDE的形状，并说明理由．

分析：由等腰梯形ABCD易知AC＝BD，由CE∥AD且CE＝AD可得四边形ACED是平行四边形，则AC＝DE，问题得以解决．
解：△BDE是等腰三角形．理由：
因为AD∥CE，AD＝CE，
所以四边形ACED是平行四边形，
所以AC＝DE．
又因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以AC＝BD，
所以BD＝DE，所以△BDE是等腰三角形．
评析：DE可以看作是由AC平移得到的，在梯形中，我们常利用平移，轴对称的思想解决问题．

例3.如图所示，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，试说明四边形AECD是等腰梯形．

分析：显然CD∥AE，只要说明AD＝CE就能得出四边形AECD是等腰梯形．而AD＝BC，问题就转化成了证明△BCE的两边长相等．
解：在菱形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，
所以∠CAB＝30°，∠CBE＝60°．
又CE⊥AC，所以∠E＝60°，
所以△CBE是等边三角形，所以CE＝CB＝AD.
又DC∥AB，
所以四边形AECD是等腰梯形．

例4.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°，∠C＝50°，BC＝10cm，AD＝4cm，试求AB的长．

分析：过点D作腰AB的平行线，将梯形ABCD分割为平行四边形ABED和△DEC，利用平行四边形、三角形的知识解决．
解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，则四边形ABED为平行四边形．
由DE∥AB，可得∠DEC＝∠B＝80°．
又∠C＝50°，则∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝50°，
所以∠C＝∠EDC，所以DE＝EC.
由四边形ABED为平行四边形，可得AB＝DE，BE＝AD＝4cm，
所以EC＝BC－AD＝6cm，从而有DE＝6cm，所以AB＝DE＝6cm．
评析：解决梯形问题的基本思路是将梯形转化为三角形或平行四边形加以解决，本例采用了平移一腰AB的方法，还可以采用平移另一腰CD来解决，更简单．

例5.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD＝BC，AC、BD相交于点O．试说明CO＝CD.

分析：由图中可以看出CO、CD在同一个三角形中，因此只需求出∠CDO＝∠DOC，利用等角对等边就可得出CO＝CD.
解：分别过点A作AE⊥BC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．
因为AD∥BC，所以AE＝DF．
因为∠BAC＝90°，AB＝AC，
所以∠ACB＝45°，AE＝EC＝DF＝eq\f(1,2)BC.
因为BC＝BD，所以∠BDC＝∠BCD，
所以DF＝eq\f(1,2)BD，所以∠DBC＝30°．
所以∠BDC＝eq\f(180°－∠DBC,2)＝75°，∠DOC＝∠ACB＋∠DBC＝75°，
所以∠BDC＝∠DOC，所以CO＝CD.
评析：本题考查的知识点有：①等边对等角和等角对等边；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③平行线间的距离处处相等．

例6.如图①，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．
（1）判断四边形ADEF的形状；
（2）取线段