春九年级数学下册 2 圆小专题（五）圆中常见辅助线的作法习题 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级下册数学试题.doc

小专题（五）圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
半径与弦长计算，弦心距来中间站．
圆上若有一切线，切点圆心半径连．
要想证明是切线，半径垂线仔细辨．
是直径，成半圆，想成直角径连弦．
弧有中点圆心连，垂径定理要记全．
圆周角边两条弦，直径和弦端点连．
还要作个内切圆，内角平分线梦圆．
三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．
一、连半径——构造等腰三角形
1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．

二、半径与弦长计算，弦心距来中间站
方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．
2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度．

三、见到直径——构造直径所对的圆周角
方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．

四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径
方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.

五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切
方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．

6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．

六、内切圆，连接内角平分线把梦圆
方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．
7．如图，△ABC中，E是内心，AE延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.

七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积
方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．
8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．

参考答案
1．证明：连接OA，OB.
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∴∠OAB＝∠OBA.
∴∠OAC＝∠OBD.
在△AOC和△BOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠OAC＝∠OBD，,AC＝BD，))
∴△AOC≌△BOD(SAS)．
∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．
2．过O点作OC⊥AB，点C为垂足，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5m，AB＝0.8m．
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝0.4m．
在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，
∴OC＝0.3m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．
3．连接BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ADC＝50°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.
∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.
4．证明：连接OG.
∵FE切⊙O于点G，
∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠OAK＋∠AKH＝90°.
又∵∠AKH＝∠GKE，
∴∠OAK＋∠GKE＝90°.
∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠OAG.
∴∠KGE＝∠GKE.
∴KE＝GE.
5．证明：连接OA.
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°.
∴∠AOP＝60°.
又∵AC＝AP，
∴∠P＝∠ACP＝30°.
∴∠OAP＝90°.
∴OA⊥AP.
∴AP是⊙