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群并半群及其上同余的几点研究的中期报告 本研究旨在探讨群并半群及其上同余的几点问题。在之前的研究中,我们主要对群与半群的定义、性质、结构、同态等进行了深入研究,并对简单群与有限群进行了详细探讨。本期报告主要介绍群并和半群并的定义及其性质,并给出相关的例子。 一、群并的定义及性质 1.群并定义:设G和H是两个群,则G和H的并G*H定义为一个集合G×H与一个群运算,使得对于任意g1,g2∈G和h1,h2∈H,有(g1,h1)*(g2,h2)=(g1*g2,h1*h2)成立。 2.群并的性质: a.群并是一个群,其中单位元为(G的单位元,H的单位元)。 b.如果G和H都是有限群,则G*H也是有限群,且|G*H|=|G|*|H|。 c.如果G和H都是阿贝尔群,则G*H也是阿贝尔群。 d.如果G、H都是循环群,则G*H不一定是循环群。 二、半群并的定义及性质 1.半群并定义:设S1和S2是两个半群,则S1和S2的并S1+S2定义为一个集合S1∪S2与一个半群运算,使得对于任意s1,s2∈S1和t1,t2∈S2,有s1*s2=s2*s1和t1*t2=t2*t1成立。即S1和S2是两个并沟连在一起的半群。 2.半群并的性质: a.半群并不一定是半群。 b.半群并的结合律满足结合律。 c.如果S1和S2中有一个是循环半群,则S1+S2是循环半群。 三、群和半群的同余 在群和半群中,同余关系是非常重要的一个概念。同余定义为给定任意两个元素a和b,若存在某个元素c,使得a*c=b*c,则称a和b关于c同余,记作a≡b(modc)。 在群和半群中,同余关系满足以下几点性质: a.同余关系是等价关系。 b.若a≡b(modc),则ak≡bk(modc)。 c.若a≡b(modc),且b≡d(mode),则a≡d(modf)。 d.若a≡b(modc),则ac=bc(modc)成立。 以上是本期报告的主要内容,希望对读者有所帮助。