Banach空间及度量空间中的非扩张映射的不动点逼近方法的中期报告.docx

Banach空间及度量空间中的非扩张映射的不动点逼近方法的中期报告
以下是我为您提供的中期报告。
1.研究背景
非扩张映射的不动点逼近是Banach空间及度量空间中一个重要的领域，它是几何分析、拓扑学、微分方程、优化等数学领域中的基础问题。研究如何构造出一种新的逼近方法，并且研究其收敛性，对于理解这个领域中的基本问题至关重要。
2.研究进展
本次研究我们主要关注一个新的逼近方法——偏平均性逼近方法。我们在前期的研究中已经证明，对于一个两个不同的Banach空间之间的非扩张映射，我们可以通过构建一个带权平均的迭代序列来逼近其不动点。在本期的进展中，我们主要关注该方法的收敛性问题，并且探究其在更一般的情况下的适用性。
我们的结果如下：
首先，我们证明了偏平均性逼近方法的收敛性。通过建立一个以不动点为中心的邻域，我们证明了偏平均性逼近方法的逐步逼近序列收敛于不动点。
其次，我们将该方法应用到了更一般的情形中。我们考虑了度量空间中的非扩张映射，并且证明了偏平均性逼近方法同样适用于此种情况。我们的分析显示，我们可以应用平均性逼近引理来证明该情形下的收敛性。
最后，我们还探讨了该方法的改进和拓展，其中主要是基于基于偏微分方程的方法。我们证明了通过使用微分方程进行逼近，我们可以得到更快的收敛速度，并且进一步探究了其在更广泛的情形下的适用性。
3.下一步研究计划
下一步的研究计划主要是探究该方法的拓展性和更一般的情形下的适用性。我们计划进一步研究度量空间中非扩张映射的不动点逼近问题，并且考虑更一般的情况下对于该逼近方法的改进和拓展。我们还将探究该方法在更广泛领域内的适用性，并且考虑如何将其与其他方法进行结合和比较。