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用MATLAB实现共轭梯度法求解实例

康福201103710031

1．无约束优化方法

1.1无约束优化方法的必要性

一般机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它
们都属于约束优化问题。但是为什么要研究无约束优化问题?
（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。
（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。
（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束
优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
（4）对于多维无约束问题来说，古典极值理论中令一阶导数为零，但要求二阶
可微，且要判断海赛矩阵为正定才能求得极小点，这种方法有理论意义，
但无实用价值。和一维问题一样，若多元函数F(X)不可微，亦无法求解。
但古典极值理论是无约束优化方法发展的基础。

1.2共轭梯度法

目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向
上的差别。
（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度
法等。
（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方
法较适用于解决变量个数较少的（n≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。
间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛
矩阵。
k1kk
xxks(k0,1,2,L)
搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。
共轭梯度法是沿着共轭方向进行搜索，属于共轭方向法中的一种，该方法中
每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。共轭梯度法作为一种
实用的迭代法，它主要有下面的优点：
（1）算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量P产生向量W=AP，这不仅
可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供矩阵Ａ较为困难而由已知向量P产
生向量W=AP又十分方便的应用问题是很有益的。
（2）不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像SOR等；
（3）每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。
共轭梯度法原理的知识较多，请详见《机械优化设计》第四章的第四、五节。

图1为共轭梯度法的程度框图
图1为共轭梯度法的程度框图

2．设计题目及要求

2.1设计题目

用共轭梯度法求二次函数
22
f(x1,x2)x12x24x12x1x2
的极小点及极小值。

2.2设计要求

（1）使用matlab编写程序，熟练撑握matlab编程方法。
（2）学习并撑握共轭梯度法的原理、方法及应用，并了解不同无约束优化方法的
区别、优缺点及特殊要求。
（3）编写程序，计算出二次函数的极小点及极小值，并适当选取不同的初始点及
迭代精度精度，分析比较结果。

三．计算步骤

3.1计算求解

解：已知初始点[1,1]T迭代精度0.001
1）第一次沿负梯度方向搜寻
计算初始点处的梯度：
2x2x44
f(x0)12
4x2x
21x02

10014140
xx0d0
12120
为一维搜索最佳步长，应满足
f(x1)minf(x0d0)min(402203)

得：
21
0.2511
0xf(x)
0.52


2）第二次迭代2
f(x1)5
020.25
f(x0)20

1102
df(x)0d
1.5

2112222
xxd
0.51.50.51.5
代入目标函数
f(x)(22)22(0.51.5)2
2(22)(0.51.5)4(22)()
由()0得1
从而有：
24220
x,f(x)8,f(x)
20
因
f(x2)0
收敛。
3.2运行与程序

运行：打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m文件夹为当前目录。
在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)
选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度0.01，0.0001,进
行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。
程序及说明：
functionf=conjugate_grad_2d(x0,t)
%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点
%已知初始点坐标：x0
%已知收