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基于矩量理论和Sum-of-Squares最优化理论的吸引域估计的中期报告
1.研究背景
吸引域估计是控制理论和动力系统研究中的一个重要问题，具有广泛的应用价值。传统的吸引域估计方法主要基于传统的数值计算技术，如Lyapunov方法、区间分析等。然而，这些方法存在一些局限性，如无法处理非线性系统、难以得到全局吸引域、对系统初始值的依赖性较强等等。因此，近年来，基于矩量理论和Sum-of-Squares最优化理论的吸引域估计方法受到了广泛的关注。
2.方法介绍
矩量理论是一种描述系统状态的理论框架，通过计算系统状态的矩来描述状态空间中的特性。Sum-of-Squares最优化理论是一种高效、精确的全局优化方法，在众多优化方法中具有明显的优势。将这两种理论结合起来，可以得到一种高效、精确的吸引域估计方法。
具体来说，该方法先使用矩量理论来描述系统状态的矩特性，并利用Sum-of-Squares最优化理论得到系统的Lyapunov函数，并通过对Lyapunov函数的分析得到系统的稳定性与吸引域估计结果。矩量参数和Lyapunov函数的构造采用PolynomialChaosExpansion(PCE)方法。
3.研究进展
基于矩量理论和Sum-of-Squares最优化理论的吸引域估计方法在理论上已有较为严谨的推导，目前正处于算法实现的阶段。该方法已在一些具体问题上进行了实验验证，并取得了一定的成功。比如，该方法已经成功应用于一些机械系统和混沌系统中，得到了较为准确的吸引域估计结果。然而，该方法的可扩展性仍待进一步研究和完善。
4.展望和总结
当前基于矩量理论和Sum-of-Squares最优化理论的吸引域估计方法已经在理论上成熟，并已经初步应用于实际问题中。随着算法实现和理论研究的进一步深入，这种方法在吸引域估计领域中将发挥更大的作用。