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密码学中双线性对的构造与计算的中期报告
双线性对是密码学中应用较广泛的一种概念。在椭圆曲线密码学中，双线性对可以用来定义具有特殊性质的映射。双线性对的构造与计算是一项非常重要的工作，本文将介绍双线性对的概念、构造方式以及计算方法，并对已有的相关研究进行综述。
一、双线性对的概念
双线性对是一种特殊的映射，其定义如下：
设G1和G2是两个阶为q的加法循环群，而GT是一个阶为q的乘法循环群，如果存在一种映射e：G1×G2→GT满足以下性质：
1、双线性性：对于任意的P∈G1，Q∈G2，a、b∈Zp，有e(aP,bQ)=e(P,Q)ab。
2、非退化性：存在P∈G1和Q∈G2，使得e(P,Q)≠1。
此时，映射e被称为G1和G2的双线性对，记作e(P,Q)，又称为Weil对或Tate对。
二、双线性对的构造
构造双线性对的方法有很多种，其中的一种常见方法是利用Weil对或Tate对的构造方式。下面分别介绍这两种方式：
1、Weil对的构造
Weil对的构造方式如下：
设E是一个椭圆曲线，而P和Q是两个E上的点，则Weil对e(P,Q)定义为：
e(P,Q)=fP/Q(P)
其中，fP/Q是Riemann-Roch空间上的一个函数。
利用解析几何的方法可以得到fP/Q的具体计算公式。通常，fP/Q可以表示成P和Q之间的交点的积分，具体计算方法如下：
1）设L是通过P和Q的直线，且不与E其他的直线相交；
2）设P+Q=R，并定义R的纵坐标为0，此时可以得到L与E的交点R和-R；
3）计算在P和-R之间的曲线积分即可得到fP/Q的值。
计算Weil对需要计算曲线积分，因此性能比较低，尤其是在计算点的数量比较大时。
2、Tate对的构造
Tate对通常被认为是比Weil对更优秀的构造方式，Tate对的计算速度更快，并且需要的运算次数更少。
Tate对的构造方式如下：
设E位于有限域Fq上，而P和Q是E上的两个点，且Q≠0，则Tate对e(P,Q)定义为：
e(P,Q)=τ(Q)-k(P)(τ是特殊的函数）
其中，k和τ是E上的两个函数，满足以下性质：
1）τ和k在E上均为有理函数；
2）τ与k仅在点O处有极点；
3）τ和k的极点阶数相等；
4）τ在点Q处取值为1，而k在点P处取值为1。
由于Tate对的计算方式需要计算幂和倒数，因此相较于Weil对，其计算速度更快。
三、双线性对的计算
一般情况下，双线性对的计算可以通过以下步骤完成：
1）将P和Q分别映射到G1和G2上，即P∈G1，Q∈G2；
2）计算e(P,Q)的值，具体计算方式会根据构造方法的不同而有所不同。
在实际应用中，双线性对通常被用来实现一些密码学中的重要算法，例如身份验证、加密通信以及数字签名等。
四、已有的研究
目前，双线性对的构造与计算已经成为密码学研究领域中的重要课题，涌现了大量相关的研究成果。
在构造方面，有很多研究致力于设计出更加高效、安全的双线性对构造方式，例如基于TwistedEdwards曲线的双线性对构造方式、基于超奇异椭圆曲线的双线性对构造方式等。
在计算方面，很多研究致力于优化双线性对的计算速度以及减少计算所需的存储空间。例如，采用Miller算法等方法可以提高计算效率；采用批处理方法可以在一次计算中同时计算多个双线性对的值，进一步提高计算速度。
总之，双线性对作为一种重要的密码学概念，在密码学领域中拥有广泛的应用前景，在未来的研究中仍然具有很大的研究价值。