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导热系数对散热片温度变化的影响
作者
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摘要：通过对物体热传导过程的数学分析，分析导热系数对建立平衡态或稳定态前的散热片的温度分布情况的影响，发现在取得稳定态或平衡态之前的温度分布，与导热系数有关，导热系数越大，在平衡或稳定之前越有利于温度均匀分布，平衡态或稳定态也越早到来。
关键词：导热系数，散热片，温度分布。

1引言
散热片在将物体的热量散发到环境中扮演者重要的角色，而导热率则是衡量导热能力的一个重要的标准。为了从数学的角度分析清楚导热率是怎样影响导热性能的，建立了一个理想的模型来描述散热片上温度分布与导热系数的关系。
2数学物理方程的建立
由于散热片可以看成一个矩形薄片，温度呈均匀分布，而研究的是导热系数对温度分布的影响，为了简化计算，同时反映出实际情况，可以将散热片简化为一个细杆，杆的长度为l,一端具有一个初始的温度u0，一段与环境接触，温度保持在0℃不变。
于是杆上的温度ux,t满足下列泛定条件和定解条件：
ut-a2uxx=0a2=kcρ,(2.1)
u｜x=0=0,(2.2)u｜x=0=0,(2.3)
u｜t=0=u0xl0<x<l.(2.4)
3方程的求解
泛定方程和边界条件都是齐次的,可以应用分离变数法,首先以分离变数形式的试探解
ux,t=XxYt
代入方程（2.1）和边界条件（2.2），可得关于Xx的常微分方程和条件以及关于Yt的常微分方程：
X"+λX=0,(3.1)X0=0,X'l=0,(3.2)
T'+λa2T=0.(3.3)
Xx的方程（3.1）和条件（3.2）构成本征值问题，跟前面例题一样，只需考虑λ为实数的情况。如果λ<0或λ=0，只能得到无意义的解Xx≡0。如果λ>0，则方程的解是
Xx=C1cosλx+C2sinλx.
积分常数C1和C2由条件（3.2）确定，即
C1=0C2λcosλl=0
由于λ≠0，因此仍然得出没有意义的解C1=0，C2=0。从而Xx≡0，除非是cosλl=0,在cosλl=0的条件下，C2是任意常数，条件cosλl=0，即λl=(k+12)π(k=0,1,2,⋯),也就是
λ=(k+12)2π2l2=2k+12π24l2k=0,1,2⋯(3.4)
(3.4)给出本征值，相应的本征函数是
方程
Xx=C2sin2k+1π2lx(3.5)
相应地T的（3.3）可由（3.4）改写成
T'+(k+12)2π2l2a2T=0
这个方程的解是
Tkt=Ce-k+122π2a2l2t(k=0,1,2⋯)(3.6).
这样，ux,t的解一般是
ux,t=k=0∞Cke-k+122π2a2l2tsin2k+1π2lx.(3.7)
其中系数Ck应由初始条件（2.4）确定。因此
k=0∞Cksin2k+1πx2l=u0lx0<x<l(3.8)
可以看见左边是以sin2k+1π2lx为基本函数族的级数，将右边也以sin2k+1π2lx为基本函数族展开为级数，比较两边的系数，得
Ck=-122u0lk+122π2.(3.9)
于是，得到最终的结果
ux,t=2u0π2-122u0lk+122e-k+122π2a2tl2sin2k+1πx2l.(3.10)
4结果的分析
从Tkt=e-k+122π2a2l2t可以看出，当t>0时，Tkt随着k的增大而逐项急剧减小，从而级数解（3.10）很快的收敛。表现在物理现象上就是，随着导热系数的增大，细杆上的温度更快地趋于平衡态。
5结论
对导热片而言，导热系数越大越利于热量的传导，散热片上的温度分布能更快的取得稳定态或平衡态。从而能更好的将发热源产生的热量转移，降低发热源温度。因此，如果需要散热片能快速的传导热量，应该考虑用导热系数较高的材料制作散热片。
6参考文献
[1]梁昆淼.数学物理方法.[M].2010年1月第4版.北京：高等教育出版社，2011.12:149-154.
[2]李椿.热学.[M].2008年6月第2版.北京：高等教育出版社，2008.6.

Coefficientofthermalconductivityofheatsinktotheinfluenceofthetemperaturechange
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Abstract:Throughtotheobjectofheatconductionmathematicalanalysis,analysisofequilibriumthermalconductivityisestablishedorstablestatebeforethetemperaturedistributionofheatsinkandfoundthattheinfluenceoftheobtainedinstablestateorthebalancestateofbeforet