插值与拟合方法.doc

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插值与拟合方法

在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据．插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度．
插值问题:要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点．通常插值方法一般用于数据较少的情况．
数据拟合：不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。
共同点：插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法，由于对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异．

插值问题的一般提法：
已知某函数（未知）的一组观测（或试验）数据，要寻求一个函数，使，则．
实际中,常常在不知道函数的具体表达式的情况下，对于有实验测量值，寻求另一函数使满足：

称此问题为插值问题，并称函数为的插值函数，称为插值节点，称为插值条件，即，则．

（1）拉格朗日（Lagrange）插值

设函数在个相异点上的函数值为，要求一个次数不超过的代数多项式

使在节点上有成立，称之为次代数插值问题，称为插值多项式．可以证明次代数插值是唯一的．
事实上:可以得到

当时，有二点一次（线性）插值多项式：

当=2时，有三点二次（抛物线）插值多项式：

（2）牛顿（Newton）插值

牛顿插值的基本思想：

由于关于二节点的线性插值为

假设满足插值条件的二次插值多项式一般形式为

由插值条件可得

可以解出

所以

类似的方法，可以得到三次插值多项式等，按这种思想可以得到一般的牛顿插值公式．

函数的差商及其性质

对于给定的函数，用表示关于节点的阶差商，则有
一阶差商：，
二阶差商：
n阶差商：
差商有下列性质：
（1）差商的分加性：．
（2）差商的对称性：在中任意调换的次序其值不变．

牛顿插值公式：
一次插值公式为

二次插值公式为

于是有一般的牛顿插值公式为

可以证明：其余项为

实际上，牛顿插值公式是拉格朗日插值公式的一种变形，二者是等价的．另外还有著名的埃尔米特（Hermite）插值等．

（3）样条函数插值方法

样条，实质上就是由分段多项式光滑连接而成的函数，一般称为多项式样条．由于样条函数的特殊性质，决定了样条函数在实际中有着重要的应用．

样条函数的一般概念

定义设给定区间的一个分划，如果函数满足条件：
(1)在每个子区间上是次多项式；
(2)及直到-1阶的导数在上连续．
则称是关于分划△的一个次多项式样条函数，称为样条节点，称为内节点，称为边界节点，这类样条函数的全体记作，称为次样条函数空间．
若，则是关于分划△的次多项式样条函数．次多项式样条函数的一般形式为

其中和均为任意常数，而

在实际中最常用的是和３的情况，即为二次样条函数和三次样条函数．
二次样条函数：对于上的分划,则

其中．
三次样条函数：对于上的分划,则

其中．

1二次样条函数插值

中含有个待定常数，故应需要个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：
问题(1)：已知插值节点和相应的函数值，以及端点(或)处的导数值(或)，求使得
（5.1）
问题(2)：已知插值节点和相应的导数值，以及端点(或)处的函数值(或)，求使得
(5.2)
事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的．
对于问题(1)，由条件(5.1)

引入记号为未知向量，为已知向量，

于是，问题转化为求方程组的解的问题，即可得到二次样条函数的的表达式．
对于问题(2)的情况类似．

２．三次样条函数插值

由于中含有个待定系数，故应需要个插值条件，因此可将三次样条插值问题分为三类：
问题(1)：已知插值节点和相应的函数值，以及两个端点，处的导数值，，求使满足条件
(5.3)
问题(2)：已知插值节点和相应的函数值，以及两个端点，处
的二阶导数值，，求使满足条件
(5.4)
问题(3)：类似地，求使满足条件
(5.5)
这三类插值问题的条件都是个，可以证明其解都是唯一的〔8〕．
一般的求解方法可以仿照二次样条的情况处理方法，在这里给出一种更简单的方法．仅依问题(1)为例，问题(2)和问题(3)的情况类似处理．
由于在区间上是一个分段光滑，且具有二阶连续导数的三次多项式，则在子区间上是线性函数，记为待定常数．由拉格朗日插值公式可得

显然在上为常数．于是在上有
(5.6)
则当时，由(5.6)式和问题(1)的条件得

故可解得
（5.7）
将(5.7)式代入(5.6)式得
(5.8)
在上同样的有
(5.9)
根据的一阶导数连续性，由(5.9)式得

结合(5.7)式整理得

引入记号，．则
（5.10）
再由边界条件：得
(5.11)
联立(5.10),(5.1