二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案.pdf

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二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的
次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一
次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫
二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的
解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

代入消元法

例：解方程组x+y=5①

6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③

把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7

把y=59/7带入③，x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7

y=59/7为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim
inationbysubstitution)，简称代入法。

加减消元法

例：解方程组x+y=9①

x-y=5②

解：①+②2x=14即x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2
∴x=7y=-2为方程组的解
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像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（eliminationbyaddition-subtraction)，简称
加减法。二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7为方程组的解
2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一
个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致
计算错误。
教科书中没有的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法.

例1,13x+14y=41(1)

14x+13y=40(2)

解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)

把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2
把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

(二)换元法

例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2
所以x+5=6,

y-4=2所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要
原因。

（三）另类换元

例3，x:y=1:45x+6y=29

令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
组的解。
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求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。
注意：
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次
方程单独组成。

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆内容提要☆

一、基本概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2．分类：

二、解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法

四、一元二次方程1．定义及一般形式：2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方
法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3．根的判别
式：4．根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。5．常用等
式：

五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法

2．无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法⑷验根及方法

3．