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复杂区域上对流扩散方程数值边界的ILW方法和随机游走模型的RKDG方法的开题报告
一、研究背景
在自然界和工程实践中，涉及到很多复杂的区域，如湍流流动、地下水流、大气污染等，这些问题都可以归纳为从某种初始条件开始，经过一定的时间后，随着物质的流动、扩散和反应等产生了各种变化的问题。然而，这些变化往往具有强烈的非线性、复杂的几何形态和介质特性，使得这些问题难以通过解析方法得到解析解。因此，必须通过数值计算的方法来解决这些问题。
目前常用的数值方法包括FDM、FEM、FVM、DG等，但是随着计算机技术和数值计算方法的发展，DG方法逐渐成为了复杂多相场问题的首选方法之一。DG方法基于对流补偿技术，可准确模拟物质的流动和扩散，而且可以有效的处理复杂区域和高精度数值计算等问题。此外，由于其高阶精度和可控制的数值粘性，DG方法也逐渐成为求解不确定、随机问题的有力工具。
二、研究目的
本研究的主要目的是探索在复杂区域上求解对流扩散方程数值边界的ILW方法和随机游走模型的RKDG方法。
对于复杂区域上求解对流扩散方程数值边界的问题，由于其边界条件的影响使得数值计算更加困难，因此我们将采用基于ILW方法的数值边界，研究其在复杂区域上求解对流扩散方程的适用性和精度优势。
同时，我们还将研究在RKDG方法中引入随机游走模型的适用性，从而在不确定性、随机性问题中取得更好的数值计算结果。
三、研究方法
本研究将主要采用以下研究方法：
1.ILW方法的数值边界研究
（1）构建Lax-Wendroff格式求解对流扩散方程
（2）引入交错网格有限差分格式
（3）引入差分通量上值
（4）分析ILW方法的适用性和精度优势
2.RKDG方法的随机游走模型研究
（1）利用DG方法求解对流扩散方程
（2）引入随机游走模型，将粒子随机游走的结果用于计算
（3）研究随机游走模型在RKDG方法中的适用性和精度优势
四、研究意义
本研究的意义主要体现在以下几个方面：
1.探索ILW方法在复杂区域上求解对流扩散方程的适用性和精度优势；
2.探索RKDG方法中引入随机游走模型的适用性，在不确定、随机化问题中取得更好的数值计算结果；
3.为求解多相场流动、环境污染等问题提供了新的数值方法和思路。
五、研究计划
本研究计划分为以下步骤：
1.熟悉ILW方法和RKDG方法以及随机游走模型的理论和实现方法；
2.在Matlab软件上编写ILW方法的数值边界程序，分析其效果；
3.在DG方法的基础上引入随机游走模型，编写RKDG方法的程序；
4.对两种方法的计算结果进行比对，分析其精度和适用性。
六、预期成果
本研究的预期成果主要包括以下几个方面：
1.构建了适用于复杂区域上对流扩散方程数值边界的ILW方法；
2.探索了在RKDG方法中引入随机游走模型的适用性，对不确定、随机化问题取得更好的数值计算结果；
3.提供了有效、高精度的数值方法和思路，为求解多相场流动、环境污染等问题提供了新思路和方法。