2025年湖南省长沙市高三上学期数学试卷及答案指导.docx

2025年湖南省长沙市数学高三上学期自测试卷及答案指导
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、若函数fx=2x−3在x=a处的导数是3，则a的值为：
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：A
解析：根据指数函数的导数公式，f′x=2xln2。由题意，f′a=3，因此有：
2aln2=3
由于ln2是一个常数，我们可以解出a：
2a=3ln2
由于ln2不是整数，我们通过观察或计算可以发现21=2，22=4，所以2a=3的解为a=1。
2、若函数fx=logax−1（其中a>0，a≠1）在其定义域内单调递增，则a的取值范围是：
A.a>1
B.0<a<1
C.a=1
D.a<0
答案:A
解析:对于对数函数fx=logax−1，其定义域为x>1。根据对数函数的性质，当底数a>1时，函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，函数在定义域内单调递减。因此，为了使该函数在其定义域内单调递增，我们需要a>1。选项C和D可直接排除，因为a=1时函数没有意义，而a<0时对数函数不成立。
这就是第2题及其解析。
3、已知函数fx=ax2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且与x轴有两个不同的交点，下列说法正确的是（）
A、b2−4ac>0，a>0，c>0
B、b2−4ac>0，a>0，c<0
C、b2−4ac>0，a<0，c>0
D、b2−4ac>0，a<0，c<0
答案：B
解析：因为函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，所以系数a>0。又因为与x轴有两个不同的交点，说明函数有两个实根，所以判别式b2−4ac>0。结合以上两个条件，可以确定正确答案为B。其他选项中，a和c的符号与题意不符，因此排除。
4、若函数fx=1x−2在定义域内的某一点x0处可导，则x0的值是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：C
解析：由于函数fx=1x−2在其定义域内除x=2外都存在，要使函数在某点x0处可导，x0必须不等于2。选项A、B、D都等于2，不符合要求，所以正确答案为C。
5、在函数fx=ax2+bx+c中，若a≠0，且函数的图象开口向上，对称轴为x=−1，且函数在x=1处的函数值为3，则下列选项中正确的是：
A.a=1,b=2,c=2
B.a=1,b=−2,c=2
C.a=−1,b=2,c=2
D.a=−1,b=−2,c=2
答案：B
解析：由题意知，函数的开口向上，所以a>0。对称轴为x=−1，因此顶点的横坐标为-1，即x=−b2a=−1，解得b=2a。
函数在x=1处的函数值为3，即f1=a12+b1+c=3。将b=2a代入上式，得a+2a+c=3，即3a+c=3。
因为a>0，可以尝试代入选项验证：
A.a=1,b=2,c=2，则3a+c=3×1+2=5，不满足条件。
B.a=1,b=−2,c=2，则3a+c=3×1+2=5，不满足条件。
C.a=−1,b=2,c=2，则3a+c=3×−1+2=−1，不满足条件。
D.a=−1,b=−2,c=2，则3a+c=3×−1+2=−1，不满足条件。
由于选项A、C和D都不满足条件，故正确答案为B。
6、在函数fx=ax2+bx+c中，若a≠0，且该函数的图像开口向上，且顶点坐标为h,k，则以下哪个条件一定能成立？
A.a>0,b2−4ac<0
B.a>0,b2−4ac≥0
C.a<0,b2−4ac<0
D.a<0,b2−4ac≥0
答案：B
解析：因为函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，所以系数a必须大于0，即a>0。顶点坐标为h,k，表示函数在x=h处取得最小值，因此h=−b2a。因为顶点是二次函数的极值点，所以判别式b2−4ac必须小于或等于0，否则函数会有两个实数根，而不是一个最小值点。因此，条件a>0,b2−4ac≥0一定能成立。
7、已知函数fx=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为h,k。若f1=3，f2=5，则f−1的值是：
A.1
B.3
C.5
D.7
答案：B
解析：由于函数图象开口向上，顶点h,k是函数的最小值点。由f1=3和f2=5可知，顶点的x坐标h介于1和2之间。因此，f−1是函数在x<h时的函数值，且由于图象开口向上，f−1将大于f1=3。只有选项B（3）符合这个条件。所以f−1=3。
8、在等差数列{an}中，已知a1=3，公差d=2，则数列{an}的通项公式是（）
A.an=5n-2
B.an=2n+1
C.an=n+2
D.an=2n-1
答案：A
解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，将已知条件代入得an=3+(n-1)×2=2n+1，所以正确答案是A。
二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、已知函数fx=1x，其定义域为x∈R\{0}，且fx在其定义域内单调递减。
（1）若a<b，则