同调模与广义同调维数的任务书.docx

同调模与广义同调维数的任务书
任务简述：
本文旨在介绍同调模与广义同调维数的概念及其在代数拓扑中的应用。首先，介绍同调群和同调模的定义，并说明其在拓扑空间中的意义。然后，引入广义同调维数的概念，说明其与拓扑空间的性质之间的联系。最后，探讨广义同调维数的性质和应用。
任务要点：
1.介绍同调群和同调模的定义及其在拓扑学中的意义。
2.理解同调模的概念，包括其与同调群的区别和联系。
3.掌握广义同调维数的定义及其常用的计算方法，如埃尔伯格-莫尔（Euler-Maclaurin）公式和Atiyah-Hirzebruch（Atiyah-Hirzebruch）序列等。
4.理解广义同调维数的性质，如同调维数的线性性、同调维数的乘积公式等。
5.探究广义同调维数在代数拓扑中的应用，如黑格尔德（Hodge）理论、指数定理和Riemann-Roch定理等。
6.了解广义同调维数的进一步研究方向和开放问题。
参考文献：
1.Hatcher,A.AlgebraicTopology.CambridgeUniversityPress,2002.
2.Bott,R.andTu,L.DifferentialFormsinAlgebraicTopology.Springer-Verlag,1982.
3.Atiyah,M.F.andHirzebruch,F.Vectorbundlesandhomogeneousspaces.Proc.Sympos.PureMath.,1963,3:7-38.
4.Atiyah,M.F.andSinger,I.M.Theindexofellipticoperators.Ann.ofMath.,1963,87(3):484-530.
5.Milnor,J.MorseTheory.PrincetonUniversityPress,1963.