2019秋人教版九年级数学上册教材全解读优选x.pdf

教材分析

第二■-一章一元二次方程

【知识网络】

【知识解读】

1.一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.

它的一般形式：ax2+Z>x+c=O(a*o).

(1)判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②

未知数的最高次数是2；③方程是整式方程(即含有未知数的式子是整式).三者必须同

时满足，否则就不是一元二次方程.

(2)京+bx+c=O(a,b,c为常数，a.O)称为一元二次方程的一般形式，

其中水0是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程.履叫做二次项，a

叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.

2.一元二次方程的解法

直挂开方法配方法家根公式因式分解法

理平分根的定义完全平方公式配方法和直接、开平方4•月=0,贝」为=0或
法
论直接开平方法5=0
所有的一元二次方程所有的一元二次方程
适对=戒沏0）左边能分解因式，右
边为0的方程
用（X±W2）'=”（八
1.
观察方程是否符合1.移项，使方程左边之1.化二次项系数为11.将方程右边化为0
其含有二次项和一次项，
或2.把方程化为一般形式2.将方程左边
右边.为常数项进行因式分解
3.求出b2-4ac的值
体（1±四）富=”（”2.方程两边都加3.令每个因式
Ho）上一次项系数一半的平4.a>b>c的值代入等于0,律两个一元
方一次方程
步2.直接开平
3.原方程变为-如c4.解这两个一元一次
方，律两个一次方程x=------------
（X土?n）=卜3方程，得方程的两个
3.解一元一次MO）2a
根
方程得原方程的两个
注意事项：

解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使

方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写

出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为（mx-n）25的形

式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1,再把方程的两边都加上一次项系

数一半的平方.

解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方

程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）.分解因

式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根

本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，

一般不用配方法.

3.一元二次方程的实际应用

方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题

相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义.利用方程解决
实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知
量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具
体问题的实际意义，检验解的合理性.

列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.审：读懂题

目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；
设：设元，也就是设未知数；

列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个

相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方

程；

解：解方程，求出未知数的值；

验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；

答：写出答语.

相等关系的寻找应从以下几方面入手：

①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确

（vt=s）.

②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量（工程）问题.常常是以工作量

为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）.

③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将

这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.

④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙+5”

⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是

列方程解应用题的关键.

【易错点】

一、忽视一元二次方程定义中的条件

例1关于X的一元二次方程(a+l)x2+x+a2-l=0的一个根为0,则

错解：...0是一元二次方程的根,.•.将x=0代入方程得a?-1=0,."=±L
剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数a-l#0,即a左一1。错解忽

视了二次项系数不为零的规定，故答案应为a=l.

二、用公式法解方程，忽视化方程为一般形式

例2解方程X2-4X=8

错解：Va=l,b=-4,c=8,b2-4a