初中数学知识点-53、米勒最值问题.pdf

运用米勒定理简解最大角问题

米勒问题和米勒定理

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什

么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上

100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，

因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点A、B是MON的边OM上的两个定点，点C是边ON上的动点，

则当C在何处时，ACB最大？

对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点、是MON的边OM上的两个定点，点是边上的一动

点，则当且仅当ABC的外圆与边ON相切于点C时，ACB最大。

证明：如图，设C'、C''是边ON上不同于点C的任意两点，因为AC'B、AC''B

均是圆外角，ACB是圆周角，易证、均小于ACB，故ACB最大。

M

A

B

OC'CC''N

根据切割线定理得，OC2OAOB，即OCOAOB，于是我们有：ACB最

大等价于ABC的外接圆与边ON相切于点C，等价于OC2OAOB等价于

OCOAOB。

关于切割线定理：如图，过O外一点画圆的一条切线PC和一条割线PB，交O于

另一点A，则有PC2PAPB（读者可利用相似自行证明）

C

P
O
A
B

例题：（1）如图1，点A，B在∠MQN的边QM上，过A，B两点的圆交QN于点C，D.

①点E在线段CD上（异于点C，D），点F在射线DN上（与点D不重合）.试证明∠AEB>

∠AFB；

②点P从Q点出发沿射线QN方向运动，你能发现在这个运动过程中∠APB的大小是如何

变化的？∠APB的度数能取到最大值吗？如果能，说出点P的位置；

（2）如图2，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），当点P在y轴上移动时，∠APB

是否有最大值？若有，请直接写出点P的坐标；若没有请说明理由。

练习1：先阅读材料，再解答问题：

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周

角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．

小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D>∠E．

请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），

点C的坐标为（3，0）．

A

BO

E
CD

①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；

②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为；

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），

其中m>n>0．点P为轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的

坐标．

yy
AA

BB

OCxOx
图1图2

练习2：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射

门越好.如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，

最好的射点在（）

A．点CB．点D或点E

C．线段DE（异于端点）上一点D．线段CD（异于端点）上一点

练习3：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的

一个动点。

（1）使∠APB=30的点P有___________个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB

最大的理由；若没有，也请说明理由。

练习4：如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60，AD=8，

BC=12.

（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为___；

（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？

若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。

练习5：根据已学知识完成问题（1）—（4）
（1）如图，ABC、、为O上三点，D为圆外一点，求证CD

D

CC

P
OO
A
B
AB

（2）如图，B为O上一