高数导数与微分.ppt

例已知自由落体运动方程S=1/2gt2
求（1）落体在t0到t0+这段时间内的平均速度；
（2）落体在t=t0时的瞬时速度；
（3）落体在t=10s到t=10.1s这段时间内的平均速度；
（4）落体在t=10s时的瞬时速度。（1）

（2）由上式知，t=t0时的瞬时速度为：

（3）当t0=10,=0.1s时，平均速度为

（4）当t=10s时，瞬时速度为二.曲线的切线问题
与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条导数的定义比值反映自变量时，函数的平均变化率；
导数反映函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度；
若函数y=f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导；
导函数简称导数求导数的步骤常见的导数公式
对数函数

指数函数

导数的几何意义例2-7求曲线在点（4,2）处的切
线方程和法线方程。

例2-8曲线上何处的切线平行于直线y=x+1。
可导的充要条件同样，如果存在，则称其为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作，即
=
因此，函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即
=
可导与连续的的关系例2-11讨论函数y=f(x)=在点x=1处的连续性与可导性。
连续性左极限=右极限=函数值
可导性左导数=右导数
第二节函数的和、差、积、商求导法则（4）
（5）
例2-12求
例2-13求
例2-14
例2-15
例2-16例2-17求y=tanx的导数；
例2-18求y=secx的导数；
例2-19求函数的导数，并求
例2-20求函数的导数第三节反函数与复合函数的导数结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数
例2-21求的导数
例2-22求的导数
基本初等函数的导数公式反三角函数
对数函数

指数函数

例2-23
例2-24
例2-25
例2-26
例2-27例2-28
例2-29
例2-30第四节隐函数、幂指函数及参数式函数的导数隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量x求导，得到一个含的方程式，从中解出即可。
注：方程两边对x求导，是指遇到x时，可直接求出其导数；遇到y或y的函数时，把y看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对y求导，再对x求导。例2-31求由方程所确定的函数y对自变量x的导数
例2-32求由方程所确定的隐函数y对自变量x的导数
例2-33求曲线上点（3,-4）处的切线方程和法线方程二幂指函数的导数
形如的函数称为幂指函数。如等
幂指函数求导方法：
1.对数求导法
2.指数求导法1.对数求导法步骤：
1）两边取对数
2）方程两边同时对X求导，得到一个关于的方程式，从中解出
2.指数求导法

例2-34求函数的导数
例2-35设
例2-36求函数的导数
三参数式函数的导数
定理2-5设函数由参数方程
所确定，当都可导，且，则由参数方程所确定的函数（参数式函数）的导数为
例2-37求参数方程的导数

例2-38求曲线在处的切线方程和法线方程

例2-39已知参数方程，求。第五节高阶导数例2-40求函数y=ax+b的二阶导数
例2-41设，求
例2-42设，求
例2-43求函数的四阶导数
例2-44求由方程所确定的隐函数的二阶导数例2-45求参数方程所确定的函数的二阶导数

例2-46求的n阶导数

例2-47设第六节微分的概念、基本公式及运算法则例2-48求函数时的。
例2-49已知半径为r的球，其体积为，当半径r增大时，求体积的增量和微分
例2-50求下列函数的微分
二微分的几何意义